integral of (x^2)/(sqrt(5-4x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{5 - 4 x ^{2}} d x

\frac{5}{16} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{5 - 4 x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{5 sin ^{2} ( u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{5}{8} \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{5}{8} \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{2}{5} x)

ein

= \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x)))

Vereinfache

\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x))) : \frac{5}{16} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x)))

= \frac{5}{16} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{5}{16} (arcsin (\frac{2}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{5} x))) + C

x \to - \infty lim (\frac{1}{9} arctan (x))

\frac{d}{d x} (ln (3 x))

\int_{- 1}^{0} \frac{6}{1 + ( 2 x + 1 ) ^{2}} d x

\frac{\partial}{\partial y} (y e^{x y} + sin (y))

\int e^{a x} sin (b x) d x