integral of (y-t)λe^{-λy}

解

\int (y - t) λ e^{- λ y} d y

t e^{- λ y} - e^{- λ y} y - \frac{e ^{- λ y}}{λ} + C

解答ステップ

\int (y - t) λ e^{- λ y} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= λ \cdot \int (- t + y) e^{- λ y} d y

部分積分を適用する

= λ (- e^{- λ y} \frac{1}{λ} (- t + y) - \int - e^{- λ y} \frac{1}{λ} d y)

\int - e^{- λ y} \frac{1}{λ} d y = e^{- λ y} \frac{1}{λ ^{2}}

= λ (- e^{- λ y} \frac{1}{λ} (- t + y) - e^{- λ y} \frac{1}{λ ^{2}})

簡素化

λ (- e^{- λ y} \frac{1}{λ} (- t + y) - e^{- λ y} \frac{1}{λ ^{2}}) : t e^{- λ y} - e^{- λ y} y - \frac{e ^{- λ y}}{λ}

= t e^{- λ y} - e^{- λ y} y - \frac{e ^{- λ y}}{λ}

定数を解答に追加する

= t e^{- λ y} - e^{- λ y} y - \frac{e ^{- λ y}}{λ} + C