integral of 1/(1+e^{-t)}

解

\int \frac{1}{1 + e ^{- t}} d t

ln 1 + e^{- t} + t + C

解答ステップ

\int \frac{1}{1 + e ^{- t}} d t

\frac{1}{1 + e ^{- t}} = - \frac{e ^{- t}}{1 + e ^{- t}} + 1

= \int - \frac{e ^{- t}}{1 + e ^{- t}} + 1 d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{e ^{- t}}{1 + e ^{- t}} d t + \int 1 d t

\int \frac{e ^{- t}}{1 + e ^{- t}} d t = - ln 1 + e^{- t}

\int 1 d t = t

= - (- ln 1 + e^{- t}) + t

簡素化

= ln 1 + e^{- t} + t

定数を解答に追加する

= ln 1 + e^{- t} + t + C