inverselaplace s/(s^2+4s+8)

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{s}{s ^{2} + 4 s + 8}

e^{- 2 t} cos (2 t) - e^{- 2 t} sin (2 t)

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 4 s + 8}}

Schreibe

\frac{s}{s ^{2} + 4 s + 8}

um:

\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - 2 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - 2 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} - 2 L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= e^{- 2 t} cos (2 t) - 2 e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

Fasse

e^{- 2 t} cos (2 t) - 2 e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

zusammen:

e^{- 2 t} cos (2 t) - e^{- 2 t} sin (2 t)

= e^{- 2 t} cos (2 t) - e^{- 2 t} sin (2 t)