integral of y25(y-Θ)*e^{(-5(y-Θ))}

Lösung

\int y \cdot 25 \cdot (y - Θ) \cdot e^{(- 5 (y - Θ))} d y

5Θ e^{- 5 (- Θ + y)} y + Θ e^{- 5 (- Θ + y)} - 5 e^{- 5 (- Θ + y)} y^{2} - 2 e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{2}{5} e^{- 5 (- Θ + y)} + C

Schritte zur Lösung

\int y \cdot 25 (y - Θ) e^{- 5 (y - Θ)} d y

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 25 \cdot \int (- Θ + y) e^{- (- Θ + y) \cdot 5} y d y

Wende die partielle Integration an

= 25 ((- Θ + y) (- \frac{1}{5} e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{1}{25} e^{- 5 (- Θ + y)}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{1}{25} e^{- 5 (- Θ + y)} d y)

\int - \frac{1}{5} e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{1}{25} e^{- 5 (- Θ + y)} d y = \frac{1}{25} e^{- 5 (- Θ + y)} y + \frac{2}{125} e^{- 5 (- Θ + y)}

= 25 ((- Θ + y) (- \frac{1}{5} e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{1}{25} e^{- 5 (- Θ + y)}) - (\frac{1}{25} e^{- 5 (- Θ + y)} y + \frac{2}{125} e^{- 5 (- Θ + y)}))

Vereinfache

25 ((- Θ + y) (- \frac{1}{5} e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{1}{25} e^{- 5 (- Θ + y)}) - (\frac{1}{25} e^{- 5 (- Θ + y)} y + \frac{2}{125} e^{- 5 (- Θ + y)})) : 5Θ e^{- 5 (- Θ + y)} y + Θ e^{- 5 (- Θ + y)} - 5 e^{- 5 (- Θ + y)} y^{2} - 2 e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{2}{5} e^{- 5 (- Θ + y)}

= 5Θ e^{- 5 (- Θ + y)} y + Θ e^{- 5 (- Θ + y)} - 5 e^{- 5 (- Θ + y)} y^{2} - 2 e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{2}{5} e^{- 5 (- Θ + y)}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 5Θ e^{- 5 (- Θ + y)} y + Θ e^{- 5 (- Θ + y)} - 5 e^{- 5 (- Θ + y)} y^{2} - 2 e^{- 5 (- Θ + y)} y - \frac{2}{5} e^{- 5 (- Θ + y)} + C