integral of (x^2)/(sqrt(x^2+8))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 8} d x

8 (- \frac{1}{4} (2 ln x + 8 + x^{2} - 3 ln (2)) + \frac{1}{16} x 8 + x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 8} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 8 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 8 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 8 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 8 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{2 2} x)

ein

= 8 (- ln tan (arctan (\frac{1}{2 2} x)) + sec (arctan (\frac{1}{2 2} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{2 2} x)) tan (arctan (\frac{1}{2 2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{2 2} x)) + sec (arctan (\frac{1}{2 2} x)))

Vereinfache

8 (- ln tan (arctan (\frac{1}{2 2} x)) + sec (arctan (\frac{1}{2 2} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{2 2} x)) tan (arctan (\frac{1}{2 2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{2 2} x)) + sec (arctan (\frac{1}{2 2} x))) : 8 (- \frac{1}{4} (2 ln x + 8 + x^{2} - 3 ln (2)) + \frac{1}{16} x 8 + x^{2})

= 8 (- \frac{1}{4} (2 ln x + 8 + x^{2} - 3 ln (2)) + \frac{1}{16} x 8 + x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (- \frac{1}{4} (2 ln x + 8 + x^{2} - 3 ln (2)) + \frac{1}{16} x 8 + x^{2}) + C