integral of 7/(7+e^x)

Lösung

\int \frac{7}{7 + e ^{x}} d x

x - ln ∣ e^{x} + 7 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{7}{7 + e ^{x}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 7 \cdot \int \frac{1}{7 + e ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= 7 \cdot \int \frac{1}{u ( 7 + u )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( 7 + u )} : \frac{1}{7 u} - \frac{1}{7 ( u + 7 )}

= 7 \cdot \int \frac{1}{7 u} - \frac{1}{7 ( u + 7 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 7 (\int \frac{1}{7 u} d u - \int \frac{1}{7 ( u + 7 )} d u)

\int \frac{1}{7 u} d u = \frac{1}{7} ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{7 ( u + 7 )} d u = \frac{1}{7} ln ∣ u + 7 ∣

= 7 (\frac{1}{7} ln ∣ u ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ u + 7 ∣)

Setze in

u = e^{x}

ein

= 7 (\frac{1}{7} ln ∣ e^{x} ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ e^{x} + 7 ∣)

Vereinfache

7 (\frac{1}{7} ln ∣ e^{x} ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ e^{x} + 7 ∣) : x - ln ∣ e^{x} + 7 ∣

= x - ln ∣ e^{x} + 7 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x - ln ∣ e^{x} + 7 ∣ + C