интеграл от (pi-x)cos(pix)

Решение

\int (π - x) cos (π x) d x

sin (π x) - \frac{1}{π} x sin (π x) - \frac{1}{π ^{2}} cos (π x) + C

Шаги решения

\int (π - x) cos (π x) d x

Расширить

(π - x) cos (π x) : π cos (π x) - x cos (π x)

= \int π cos (π x) - x cos (π x) d x

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int π cos (π x) d x - \int x cos (π x) d x

\int π cos (π x) d x = sin (π x)

\int x cos (π x) d x = \frac{1}{π} x sin (π x) + \frac{1}{π ^{2}} cos (π x)

= sin (π x) - (\frac{1}{π} x sin (π x) + \frac{1}{π ^{2}} cos (π x))

После упрощения получаем

= sin (π x) - \frac{1}{π} x sin (π x) - \frac{1}{π ^{2}} cos (π x)

Добавить константу к решению

= sin (π x) - \frac{1}{π} x sin (π x) - \frac{1}{π ^{2}} cos (π x) + C