integral of 2sin^3(x)cos^5(x)

Lösung

\int 2 sin^{3} (x) cos^{5} (x) d x

2 (- \frac{cos ^{6} ( x )}{6} + \frac{cos ^{8} ( x )}{8}) + C

Schritte zur Lösung

\int 2 sin^{3} (x) cos^{5} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin^{3} (x) cos^{5} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int (1 - cos^{2} (x)) sin (x) cos^{5} (x) d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int - u^{5} (1 - u^{2}) d u

Multipliziere aus

- u^{5} (1 - u^{2}) : - u^{5} + u^{7}

= 2 \cdot \int - u^{5} + u^{7} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int u^{5} d u + \int u^{7} d u)

\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6}

\int u^{7} d u = \frac{u ^{8}}{8}

= 2 (- \frac{u ^{6}}{6} + \frac{u ^{8}}{8})

Setze in

u = cos (x)

ein

= 2 (- \frac{cos ^{6} ( x )}{6} + \frac{cos ^{8} ( x )}{8})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{cos ^{6} ( x )}{6} + \frac{cos ^{8} ( x )}{8}) + C

d er i v a t i v e f (x) = arctan (3 x)

in v erse l a pl a ce \frac{s + 1}{s ^{2} + 4}

d er i v a t i v e \frac{( x ^{2} + 2 ) ^{\frac{3}{2}}}{3}

f^{^{'}} (x) = tan (x) + cot (x)

\int sin (a t) d t