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integral of (x^2)/((1+x^2)^{3/2)}

解

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

解

ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int tan^{2} (u) cos (u) d u

簡素化

tan^{2} (u) cos (u) : sin (u) tan (u)

= \int sin (u) tan (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

拡張

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u)

代用を戻す

u = arctan (x)

= ln ∣ tan (arctan (x)) + sec (arctan (x)) ∣ - sin (arctan (x))

簡素化

ln ∣ tan (arctan (x)) + sec (arctan (x)) ∣ - sin (arctan (x)) : ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

定数を解答に追加する

= ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

グラフ

人気の例

integral of (x+1)cos(x^2+2x)

integral of (8x^3)/(sqrt(4x^2+9))

integral of tan(x+1)

integral of cos(x)sqrt(sin(x)+1)

integral of (e^{1/(x^2)}+2x+ln(x))/(x^3)