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integral of 1/(cos^2(x)+1)

Lösung

\int \frac{1}{cos ^{2} ( x ) + 1} d x

\frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( x )}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{cos ^{2} ( x ) + 1} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{2}{cos ( 2 x ) + 3} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{cos ( 2 x ) + 3} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( cos ( u ) + 3 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{cos ( u ) + 3} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 2} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{2 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} arctan (w)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( \frac{2 x}{2} )}{2})

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( \frac{2 x}{2} )}{2}) : \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( x )}{2})

= \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( x )}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( x )}{2}) + C

\int \frac{( 4 + x )}{1 + x ^{2}} d x

\int \frac{2 x ^{2} + 4}{x ^{3} - 8} d x

\int \frac{x ^{2} + \frac{2}{3}}{x ^{3} + 2 x} d x

\int \frac{4 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{3}} d x

\int cos (x) cos (4 sin (x)) d x