integral of (x^2)/((1+x^2)^3)

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} d x

\frac{1}{8} (arctan (x) - \frac{1}{4} sin (4 arctan (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{tan ^{2} ( u )}{sec ^{6} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= \frac{1}{8} (arctan (x) - \frac{1}{4} sin (4 arctan (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{8} (arctan (x) - \frac{1}{4} sin (4 arctan (x))) + C