integral of e^{-2bx^2}

Lösung

\int e^{- 2 b x^{2}} d x

\frac{π}{2 2 b} erf (\frac{2 b x}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- 2 b x^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{2} e^{- \frac{b u ^{2}}{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- \frac{b u ^{2}}{2}} d u

Wende Exponentenregel an:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{b u ^{2}}{2} = (\frac{b u}{2})^{2}

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- (\frac{b u}{2})^{2}} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- v^{2}} \frac{2}{b} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \frac{2}{b} \cdot \int e^{- v^{2}} d v

Das ist ein nicht elementares Integral :

\int e^{- v^{2}} d v = \frac{π}{2} erf (v)

= \frac{1}{2} \frac{2}{b} \frac{π}{2} erf (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \frac{2}{b} \frac{π}{2} erf (\frac{b \cdot 2 x}{2})

Vereinfache

\frac{1}{2} \frac{2}{b} \frac{π}{2} erf (\frac{b \cdot 2 x}{2}) : \frac{π}{2 2 b} erf (\frac{2 b x}{2})

= \frac{π}{2 2 b} erf (\frac{2 b x}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{π}{2 2 b} erf (\frac{2 b x}{2}) + C