integral of ((e^x+e^{-x})/2)^2

Lösung

\int (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2} d x

\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} sinh (2 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (\frac{2 cosh ( x )}{2})^{2} d x

Vereinfache

= \int cosh^{2} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cosh ( 2 x )}{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cosh (2 x) d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d x + \int cosh (2 x) d x)

\int 1 d x = x

\int cosh (2 x) d x = \frac{1}{2} sinh (2 x)

= \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} sinh (2 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} sinh (2 x)) + C

\int e^{5} x d x

\int \frac{x}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} d x

\int (x^{2} - 1)^{\frac{3}{2}} d x

\int cos (5 x) cos (11 x) d x

\int x (x) d x