integral of (cos^4(x))/(csc^3(x))

Lösung

\int \frac{cos ^{4} ( x )}{csc ^{3} ( x )} d x

- \frac{cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{cos ^{7} ( x )}{7} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ^{4} ( x )}{csc ^{3} ( x )} d x

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{1}{csc ( x )} = sin (x)

= \int cos^{4} (x) sin^{3} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (1 - cos^{2} (x)) sin (x) cos^{4} (x) d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{4} (1 - u^{2}) d u

Multipliziere aus

- u^{4} (1 - u^{2}) : - u^{4} + u^{6}

= \int - u^{4} + u^{6} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int u^{4} d u + \int u^{6} d u

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

\int u^{6} d u = \frac{u ^{7}}{7}

= - \frac{u ^{5}}{5} + \frac{u ^{7}}{7}

Setze in

u = cos (x)

ein

= - \frac{cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{cos ^{7} ( x )}{7}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{cos ^{7} ( x )}{7} + C

\int \frac{x + 5}{x - 5} d x

\int - sin (3 x) (5 + cos (3 x))^{4} d x

\int \frac{1}{x ^{10}} d x

\int - x^{6} d x

\int 4 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{- \frac{1}{3}} d x