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integral of (sqrt(1+x^2))/(-3x)

Lösung

\int \frac{1 + x ^{2}}{- 3 x} d x

Lösung

\frac{1}{6} (ln 1 + x^{2} + 1 - ln 1 + x^{2} - 1 - 2 1 + x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1 + x ^{2}}{- 3 x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{- 3} \cdot \int \frac{1 + x ^{2}}{x} d x

Vereinfache

= (- \frac{1}{3}) \cdot \int \frac{1 + x ^{2}}{x} d x

Wende U-Substitution an

= (- \frac{1}{3}) \cdot \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= (- \frac{1}{3}) \cdot \int \frac{u ^{2}}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= (- \frac{1}{3}) (- \int \frac{u ^{2}}{- u ^{2} + 1} d u)

\frac{u ^{2}}{- u ^{2} + 1} = \frac{1}{- u ^{2} + 1} - 1

= (- \frac{1}{3}) (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} - 1 d u)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= (- \frac{1}{3}) (- (\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u - \int 1 d u))

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

\int 1 d u = u

= (- \frac{1}{3}) (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2} - u))

Setze in

u = 1 + x^{2}

ein

= (- \frac{1}{3}) (- (\frac{ln 1 + x ^{2} + 1}{2} - \frac{ln 1 + x ^{2} - 1}{2} - 1 + x^{2}))

Vereinfache

(- \frac{1}{3}) (- (\frac{ln 1 + x ^{2} + 1}{2} - \frac{ln 1 + x ^{2} - 1}{2} - 1 + x^{2})) : \frac{1}{6} (ln 1 + x^{2} + 1 - ln 1 + x^{2} - 1 - 2 1 + x^{2})

= \frac{1}{6} (ln 1 + x^{2} + 1 - ln 1 + x^{2} - 1 - 2 1 + x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} (ln 1 + x^{2} + 1 - ln 1 + x^{2} - 1 - 2 1 + x^{2}) + C

Graph

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