integral of (x^2)/(sqrt(16-9x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{16 - 9 x ^{2}} d x

\frac{4}{27} (2 arcsin (\frac{3}{4} x) - sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{16 - 9 x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{16 sin ^{2} ( u )}{27} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{16}{27} \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{16}{27} \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{3}{4} x)

ein

= \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{3}{4} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x)))

Vereinfache

\frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{3}{4} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x))) : \frac{4}{27} (2 arcsin (\frac{3}{4} x) - sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x)))

= \frac{4}{27} (2 arcsin (\frac{3}{4} x) - sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{4}{27} (2 arcsin (\frac{3}{4} x) - sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x))) + C

\int (4 x - 1) \cdot ln (x) d x

\int 2 e^{x} + sec (x) tan (x) - x d x

\int a x + b y d x

\int (2) 5^{x^{2} + 7} d x

\int \frac{x ^{3}}{3 x ^{2} + 3} d x