integral from 0 to x of 3/(x^2+y^2)

解

\int_{0}^{x} \frac{3}{x ^{2} + y ^{2}} d y

\frac{3 π}{4 x}

解答ステップ

\int_{0}^{x} \frac{3}{x ^{2} + y ^{2}} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int_{0}^{x} \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} d y

置換積分法を適用する

= 3 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x ( u ^{2} + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= 3 \cdot \frac{1}{x} [arctan (u)]_{0}^{1}

簡素化

3 \cdot \frac{1}{x} [arctan (u)]_{0}^{1} : \frac{3}{x} [arctan (u)]_{0}^{1}

= \frac{3}{x} [arctan (u)]_{0}^{1}

限度を計算する:

\frac{π}{4}

= \frac{3}{x} \cdot \frac{π}{4}

簡素化

= \frac{3 π}{4 x}