интеграл с-2 до 2 от xsin((npix)/2)

Решение

\int_{- 2}^{2} x sin (\frac{nπ x}{2}) d x

- \frac{8 ( - 1 ) ^{n}}{πn}

Шаги решения

\int_{- 2}^{2} x sin (\frac{nπ x}{2}) d x

Применить подстановку интеграла

= \int_{- πn}^{πn} \frac{4 u sin ( u )}{π ^{2} n ^{2}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} \cdot \int_{- πn}^{πn} u sin (u) d u

Применить интегрирование по частям

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} [- u cos (u) - \int - cos (u) d u]_{- πn}^{πn}

\int - cos (u) d u = - sin (u)

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} [- u cos (u) - (- sin (u))]_{- πn}^{πn}

После упрощения получаем

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} [- u cos (u) + sin (u)]_{- πn}^{πn}

Вычислить границы:

- 2 π (- 1)^{n} n

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- 2 π (- 1)^{n} n)

После упрощения получаем

= - \frac{8 ( - 1 ) ^{n}}{πn}