integral of (x^2)/(sqrt(225-x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{225 - x ^{2}} d x

\frac{225}{2} (arcsin (\frac{1}{15} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{15} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{225 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 225 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 225 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 225 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 225 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 225 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 225 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{15} x)

ein

= 225 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{15} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{15} x)))

Vereinfache

225 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{15} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{15} x))) : \frac{225}{2} (arcsin (\frac{1}{15} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{15} x)))

= \frac{225}{2} (arcsin (\frac{1}{15} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{15} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{225}{2} (arcsin (\frac{1}{15} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{15} x))) + C

d er i v a t i v e f (x) = cot^{2} (x) (csc (x))

\int 1 d x

\int \frac{1}{p ( 5 - p )} d p

\int (7 - 2 x)^{11} d x

\int - \frac{cos ( n x )}{n} d x