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integral of 1/(2x^2+9x+4)

Lösung

\int \frac{1}{2 x ^{2} + 9 x + 4} d x

- \frac{1}{7} (ln \frac{16}{7} + \frac{4}{7} x - ln \frac{2}{7} + \frac{4}{7} x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 x ^{2} + 9 x + 4} d x

Vervollständige das Quadrat

2 x^{2} + 9 x + 4 : 2 (x + \frac{9}{4})^{2} - \frac{49}{8}

= \int \frac{1}{2 ( x + \frac{9}{4} ) ^{2} - \frac{49}{8}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{8}{16 u ^{2} - 49} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int \frac{1}{16 u ^{2} - 49} d u

Wende integrale Substitution an

= 8 \cdot \int \frac{1}{28 ( v ^{2} - 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{28} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 8 \cdot \frac{1}{28} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{28} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 8 \cdot \frac{1}{28} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 8 \cdot \frac{1}{28} (- (\frac{ln \frac{4}{7} ( x + \frac{9}{4} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{4}{7} ( x + \frac{9}{4} ) - 1}{2}))

Vereinfache

8 \cdot \frac{1}{28} (- (\frac{ln \frac{4}{7} ( x + \frac{9}{4} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{4}{7} ( x + \frac{9}{4} ) - 1}{2})) : - \frac{1}{7} (ln \frac{16}{7} + \frac{4}{7} x - ln \frac{2}{7} + \frac{4}{7} x)

= - \frac{1}{7} (ln \frac{16}{7} + \frac{4}{7} x - ln \frac{2}{7} + \frac{4}{7} x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{7} (ln \frac{16}{7} + \frac{4}{7} x - ln \frac{2}{7} + \frac{4}{7} x) + C

\frac{d}{d x} (ln (x^{2} + 7))

x \to \frac{π}{2} lim (sin (x))

\int \frac{6}{x ^{2} + 10 x + 16} d x

\int 6 sin^{4} (x) d x

d er i v a t i v e y = ln (\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1})