integral 1/((1+r^2)^2)

Lösung

integral

\frac{1}{( 1 + r ^{2} ) ^{2}}

\frac{1}{2} (arctan (r) + \frac{r}{1 + r ^{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 1 + r ^{2} ) ^{2}} d r

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arctan (r)

ein

= \frac{1}{2} (arctan (r) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (r)))

Vereinfache

\frac{1}{2} (arctan (r) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (r))) : \frac{1}{2} (arctan (r) + \frac{r}{1 + r ^{2}})

= \frac{1}{2} (arctan (r) + \frac{r}{1 + r ^{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arctan (r) + \frac{r}{1 + r ^{2}}) + C

in t e g r a l \frac{( 1 - x )}{( 1 + x )}

in t e g r a l \frac{1}{( 2 + sin ( 3 x ) )}

in t e g r a l \frac{1}{e ^{x} ( 1 + e ^{x} )}

in t e g r a l x^{3} sin (x^{2})

in t e g r a l arctan (\frac{1}{2 x})