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integral 1/(sqrt(x(1-x)))

Lösung

integral

\frac{1}{x ( 1 - x )}

arcsin (2 x - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ( 1 - x )} d x

Multipliziere aus

x (1 - x) : x - x^{2}

= \int \frac{1}{x - x ^{2}} d x

Vervollständige das Quadrat

x - x^{2} : - (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}

= \int \frac{1}{- ( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{- 4 u ^{2} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{- 4 u ^{2} + 1} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int \frac{1}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 d v

Integral einer Konstanten :

\int a d x = a x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot arcsin (2 (x - \frac{1}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) : arcsin (2 x - 1)

= arcsin (2 x - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arcsin (2 x - 1) + C

in t e g r a l e^{1 + 2 x}

in t e g r a l \frac{1}{x - x ^{2}}

in t e g r a l (1 - 4 x) (1 + x)

in t e g r a l 3 - 2 (x)^{- 1}

in t e g r a l \frac{1}{( x )}