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integral of (2e^x)/(e^{3x)+2e^x}

Lösung

\int \frac{2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 2 e ^{x}} d x

- \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 2 + x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 2 e ^{x}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{e ^{x}}{e ^{3 x} + 2 e ^{x}} d x

Vereinfache

\frac{e ^{x}}{e ^{3 x} + 2 e ^{x}} : \frac{1}{e ^{2 x} + 2}

= 2 \cdot \int \frac{1}{e ^{2 x} + 2} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 u ( u - 2 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ( u - 2 )} d u

Vervollständige das Quadrat

u (u - 2) : (u - 1)^{2} - 1

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( u - 1 ) ^{2} - 1} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- (\frac{ln e ^{2 x} + 2 - 1 + 1}{2} - \frac{ln e ^{2 x} + 2 - 1 - 1}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} (- (\frac{ln e ^{2 x} + 2 - 1 + 1}{2} - \frac{ln e ^{2 x} + 2 - 1 - 1}{2})) : - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 2 + x

= - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 2 + x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 2 + x + C

\int (x^{- 1} + 3)^{3} d x

\int sec^{2} (a x) d x

\int + x^{3} ln (5 x) d x

\int \frac{1}{1000} e^{- \frac{x}{1000}} d x

\int 4 x - csc^{2} (x) d x