integral of 1/((x^2+8x+25)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 8 x + 25 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x + 4}{9 ( x ^{2} + 8 x + 25 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 8 x + 25 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 8 x + 25 : (x + 4)^{2} + 9

= \int \frac{1}{( ( x + 4 ) ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{9 sec ( v )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{sec ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{9} \cdot \int cos (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{9} sin (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{9} sin (arctan (\frac{1}{3} (x + 4)))

Vereinfache

\frac{1}{9} sin (arctan (\frac{1}{3} (x + 4))) : \frac{x + 4}{9 ( x ^{2} + 8 x + 25 ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x + 4}{9 ( x ^{2} + 8 x + 25 ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x + 4}{9 ( x ^{2} + 8 x + 25 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int 3 4 x^{2} - 2 x (4 x - 1) d x

\int \frac{sin ^{2} ( π ) x}{cos ^{2} ( π ) x} d x

\int z arcsec (z) d z

\int e^{t + l n (t)} d t

\int \frac{1}{3 x ^{2} + 7} d x