integral of (7x)/(x^2+14x+40)

Lösung

\int \frac{7 x}{x ^{2} + 14 x + 40} d x

7 (\frac{5}{3} ln ∣ x + 10 ∣ - \frac{2}{3} ln ∣ x + 4 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{7 x}{x ^{2} + 14 x + 40} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 7 \cdot \int \frac{x}{x ^{2} + 14 x + 40} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 14 x + 40 : (x + 7)^{2} - 9

= 7 \cdot \int \frac{x}{( x + 7 ) ^{2} - 9} d x

Wende U-Substitution an

= 7 \cdot \int \frac{u - 7}{u ^{2} - 9} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u - 7}{u ^{2} - 9} : \frac{5}{3 ( u + 3 )} - \frac{2}{3 ( u - 3 )}

= 7 \cdot \int \frac{5}{3 ( u + 3 )} - \frac{2}{3 ( u - 3 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 7 (\int \frac{5}{3 ( u + 3 )} d u - \int \frac{2}{3 ( u - 3 )} d u)

\int \frac{5}{3 ( u + 3 )} d u = \frac{5}{3} ln ∣ u + 3 ∣

\int \frac{2}{3 ( u - 3 )} d u = \frac{2}{3} ln ∣ u - 3 ∣

= 7 (\frac{5}{3} ln ∣ u + 3 ∣ - \frac{2}{3} ln ∣ u - 3 ∣)

Setze in

u = x + 7

ein

= 7 (\frac{5}{3} ln ∣ x + 7 + 3 ∣ - \frac{2}{3} ln ∣ x + 7 - 3 ∣)

Vereinfache

7 (\frac{5}{3} ln ∣ x + 7 + 3 ∣ - \frac{2}{3} ln ∣ x + 7 - 3 ∣) : 7 (\frac{5}{3} ln ∣ x + 10 ∣ - \frac{2}{3} ln ∣ x + 4 ∣)

= 7 (\frac{5}{3} ln ∣ x + 10 ∣ - \frac{2}{3} ln ∣ x + 4 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 7 (\frac{5}{3} ln ∣ x + 10 ∣ - \frac{2}{3} ln ∣ x + 4 ∣) + C

\int (1 + y + e^{y}) d y

\int x^{2} sin (2 x + 5) d x

\int \frac{1 + x}{1 - x ^{3}} d x

\int x sin (y x) d x

\int sin^{2} (x) sec (x) d x