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integral of (7e^x)/((e^x-2)(e^{2x)+3)}

Lösung

\int \frac{7 e ^{x}}{( e ^{x} - 2 ) ( e ^{2 x} + 3 )} d x

Lösung

ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 3 - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} e^{x}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{7 e ^{x}}{( e ^{x} - 2 ) ( e ^{2 x} + 3 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 7 \cdot \int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} - 2 ) ( e ^{2 x} + 3 )} d x

Ermittle den Partialbruch von

\frac{e ^{x}}{( e ^{x} - 2 ) ( e ^{2 x} + 3 )} : \frac{2}{7 ( e ^{x} - 2 )} + \frac{- 2 e ^{x} + 3}{7 ( e ^{2 x} + 3 )}

= 7 \cdot \int \frac{2}{7 ( e ^{x} - 2 )} + \frac{- 2 e ^{x} + 3}{7 ( e ^{2 x} + 3 )} d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 7 (\int \frac{2}{7 ( e ^{x} - 2 )} d x + \int \frac{- 2 e ^{x} + 3}{7 ( e ^{2 x} + 3 )} d x)

\int \frac{2}{7 ( e ^{x} - 2 )} d x = - \frac{1}{7} (x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣)

\int \frac{- 2 e ^{x} + 3}{7 ( e ^{2 x} + 3 )} d x = \frac{1}{14 3} (- 4 arctan (\frac{1}{3} e^{x}) + 3 (- ln e^{2 x} + 3 + 2 x))

= 7 (- \frac{1}{7} (x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣) + \frac{1}{14 3} (- 4 arctan (\frac{1}{3} e^{x}) + 3 (- ln e^{2 x} + 3 + 2 x)))

Vereinfache

7 (- \frac{1}{7} (x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣) + \frac{1}{14 3} (- 4 arctan (\frac{1}{3} e^{x}) + 3 (- ln e^{2 x} + 3 + 2 x))) : ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 3 - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} e^{x})

= ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 3 - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} e^{x})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 3 - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} e^{x}) + C

Graph

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