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integral of cot^4(1/2 x)

Lösung

\int cot^{4} (\frac{1}{2} x) d x

2 (cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{3} cot^{3} (\frac{x}{2}) + arctan (tan (\frac{x}{2}))) + C

Schritte zur Lösung

\int cot^{4} (\frac{1}{2} x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{tan ^{4} ( \frac{x}{2} )} d x

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{1}{tan ( x )} = cot (x)

= \int cot^{4} (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{u ^{4} ( 1 + u ^{2} )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{4} ( 1 + u ^{2} )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ^{4} ( 1 + u ^{2} )} : - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u ^{4}} + \frac{1}{u ^{2} + 1}

= 2 \cdot \int - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u ^{4}} + \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int \frac{1}{u ^{4}} d u + \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u)

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int \frac{1}{u ^{4}} d u = - \frac{1}{3 u ^{3}}

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= 2 (- (- \frac{1}{u}) - \frac{1}{3 u ^{3}} + arctan (u))

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= 2 (- (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} )}) - \frac{1}{3 tan ^{3} ( \frac{x}{2} )} + arctan (tan (\frac{x}{2})))

Vereinfache

2 (- (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} )}) - \frac{1}{3 tan ^{3} ( \frac{x}{2} )} + arctan (tan (\frac{x}{2}))) : 2 (cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{3} cot^{3} (\frac{x}{2}) + arctan (tan (\frac{x}{2})))

= 2 (cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{3} cot^{3} (\frac{x}{2}) + arctan (tan (\frac{x}{2})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{3} cot^{3} (\frac{x}{2}) + arctan (tan (\frac{x}{2}))) + C

\int \frac{2}{x ^{3} - 8} d x

\int \frac{4 x ^{2} - 3 x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} d x

\int tan^{- 3} (x) sec^{2} (x) d x

\int \frac{6 x ^{3} + 4 x ^{2} + 2}{x ^{2}} d x

\int \frac{1 + cos ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}} d x