integral of 1/(e^{4x)-e^{-4x}}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{4 x} - e ^{- 4 x}} d x

\frac{1}{8} ln (tanh (2 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{4 x} - e ^{- 4 x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{4 ( e ^{u} - e ^{- u} )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{e ^{u} - e ^{- u}} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{2 sinh ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sinh ( u )} d u

Hyperbolische Identität anwenden:

\frac{1}{sinh ( x )} = csch (x)

= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int csch (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int csch (u) d u = ln (tanh (\frac{u}{2}))

= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{u}{2}))

Setze in

u = 4 x

ein

= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{4 x}{2}))

Vereinfache

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{4 x}{2})) : \frac{1}{8} ln (tanh (2 x))

= \frac{1}{8} ln (tanh (2 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{8} ln (tanh (2 x)) + C

\int 3 (2 + 9 y)^{2} d y

\int (cos (x) e^{x}) d x

\int \frac{e ^{- 3 x}}{5 - 2 e ^{- 3 x}} d x

\int \frac{x ^{3}}{( 2 x + 1 )} d x

\int \frac{x - 2}{( x - 1 ) ( x + 3 )} d x