integral of (4x^2-4x+24)/(x^3+3x)

解

\int \frac{4 x ^{2} - 4 x + 24}{x ^{3} + 3 x} d x

8 ln ∣ x ∣ - 2 ln x^{2} + 3 - \frac{4}{3} arctan (\frac{x}{3}) + C

解答ステップ

\int \frac{4 x ^{2} - 4 x + 24}{x ^{3} + 3 x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{4 x ^{2} - 4 x + 24}{x ^{3} + 3 x} : \frac{8}{x} + \frac{- 4 x - 4}{x ^{2} + 3}

= \int \frac{8}{x} + \frac{- 4 x - 4}{x ^{2} + 3} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{8}{x} d x + \int \frac{- 4 x - 4}{x ^{2} + 3} d x

\int \frac{8}{x} d x = 8 ln ∣ x ∣

\int \frac{- 4 x - 4}{x ^{2} + 3} d x = - 2 ln x^{2} + 3 - \frac{4}{3} arctan (\frac{x}{3})

= 8 ln ∣ x ∣ - 2 ln x^{2} + 3 - \frac{4}{3} arctan (\frac{x}{3})

定数を解答に追加する

= 8 ln ∣ x ∣ - 2 ln x^{2} + 3 - \frac{4}{3} arctan (\frac{x}{3}) + C