integral of+sin^4(3t)cos^4(3t)

Lösung

\int + sin^{4} (3 t) cos^{4} (3 t) d t

\frac{1}{768} (18 t - 4 sin^{3} (3 t) cos (3 t) - 3 sin (6 t) + 48 sin^{5} (3 t) cos (3 t) - 32 sin^{7} (3 t) cos (3 t)) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (3 t) cos^{4} (3 t) d t

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) cos^{4} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{4} (u) cos^{4} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u))^{2} d u

Multipliziere aus

sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u))^{2} : sin^{4} (u) - 2 sin^{6} (u) + sin^{8} (u)

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{4} (u) - 2 sin^{6} (u) + sin^{8} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (\int sin^{4} (u) d u - \int 2 sin^{6} (u) d u + \int sin^{8} (u) d u)

\int sin^{4} (u) d u = - \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

\int 2 sin^{6} (u) d u = 2 (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))))

\int sin^{8} (u) d u = - \frac{cos ( u ) sin ^{7} ( u )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))))

= \frac{1}{3} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)) - 2 (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))) - \frac{cos ( u ) sin ^{7} ( u )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))))

Setze in

u = 3 t

ein

= \frac{1}{3} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 t) cos (3 t) + \frac{3}{8} (3 t - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 t)) - 2 (- \frac{cos ( 3 t ) sin ^{5} ( 3 t )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 t) cos (3 t) + \frac{3}{8} (3 t - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 t)))) - \frac{cos ( 3 t ) sin ^{7} ( 3 t )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( 3 t ) sin ^{5} ( 3 t )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 t) cos (3 t) + \frac{3}{8} (3 t - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 t)))))

Vereinfache

\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 t) cos (3 t) + \frac{3}{8} (3 t - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 t)) - 2 (- \frac{cos ( 3 t ) sin ^{5} ( 3 t )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 t) cos (3 t) + \frac{3}{8} (3 t - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 t)))) - \frac{cos ( 3 t ) sin ^{7} ( 3 t )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( 3 t ) sin ^{5} ( 3 t )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 t) cos (3 t) + \frac{3}{8} (3 t - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 t))))) : \frac{1}{768} (18 t - 4 sin^{3} (3 t) cos (3 t) - 3 sin (6 t) + 48 sin^{5} (3 t) cos (3 t) - 32 sin^{7} (3 t) cos (3 t))

= \frac{1}{768} (18 t - 4 sin^{3} (3 t) cos (3 t) - 3 sin (6 t) + 48 sin^{5} (3 t) cos (3 t) - 32 sin^{7} (3 t) cos (3 t))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{768} (18 t - 4 sin^{3} (3 t) cos (3 t) - 3 sin (6 t) + 48 sin^{5} (3 t) cos (3 t) - 32 sin^{7} (3 t) cos (3 t)) + C

\int x^{2} 9 - 4 x^{2} d x

\int (\frac{4 x + 3}{2 x + 5}) d x

\int sin (\frac{1}{7}) x sin (\frac{1}{14}) x d x

\int (\frac{e ^{2 x} + 2 e ^{x} + 1}{1 + e ^{x}}) d x

\int (x + 1)^{2} ln (x) d x