integral of (e^x)/(sqrt(1-81e^{2x))}

解

\int \frac{e ^{x}}{1 - 81 e ^{2 x}} d x

i \frac{1}{9} ln tan (arcsec (1 - 81 e^{2 x})) + sec (arcsec (1 - 81 e^{2 x})) + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{x}}{1 - 81 e ^{2 x}} d x

u置換積分法を適用する

= \int i \frac{- 1 + u ^{2}}{- 9 + 9 u ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= i \cdot \int \frac{- 1 + u ^{2}}{- 9 + 9 u ^{2}} d u

簡素化

\frac{- 1 + u ^{2}}{- 9 + 9 u ^{2}} : \frac{1}{9 - 1 + u ^{2}}

= i \cdot \int \frac{1}{9 - 1 + u ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= i \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{- 1 + u ^{2}} d u

三角関数による置換を適用する

= i \frac{1}{9} \cdot \int sec (v) d v

共通積分を使用する:

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= i \frac{1}{9} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

代用を戻す

= i \frac{1}{9} ln tan (arcsec (1 - 81 e^{2 x})) + sec (arcsec (1 - 81 e^{2 x}))

定数を解答に追加する

= i \frac{1}{9} ln tan (arcsec (1 - 81 e^{2 x})) + sec (arcsec (1 - 81 e^{2 x})) + C