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人気のある微分積分 >

integral of x/(x^2+4x+13)

解

\int \frac{x}{x ^{2} + 4 x + 13} d x

解

\frac{1}{2} ln \frac{( x + 2 ) ^{2}}{9} + 1 - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (x + 2)) + C

解答ステップ

\int \frac{x}{x ^{2} + 4 x + 13} d x

平方完成する

x^{2} + 4 x + 13 : (x + 2)^{2} + 9

= \int \frac{x}{( x + 2 ) ^{2} + 9} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u - 2}{u ^{2} + 9} d u

置換積分法を適用する

= \int \frac{3 v - 2}{3 ( v ^{2} + 1 )} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{3 v - 2}{v ^{2} + 1} d v

拡張

\frac{3 v - 2}{v ^{2} + 1} : \frac{3 v}{v ^{2} + 1} - \frac{2}{v ^{2} + 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (\int \frac{3 v}{v ^{2} + 1} d v - \int \frac{2}{v ^{2} + 1} d v)

\int \frac{3 v}{v ^{2} + 1} d v = \frac{3}{2} ln v^{2} + 1

\int \frac{2}{v ^{2} + 1} d v = 2 arctan (v)

= \frac{1}{3} (\frac{3}{2} ln v^{2} + 1 - 2 arctan (v))

代用を戻す

= \frac{1}{3} (\frac{3}{2} ln (\frac{x + 2}{3})^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{x + 2}{3}))

簡素化

\frac{1}{3} (\frac{3}{2} ln (\frac{x + 2}{3})^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{x + 2}{3})) : \frac{1}{2} ln \frac{( x + 2 ) ^{2}}{9} + 1 - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (x + 2))

= \frac{1}{2} ln \frac{( x + 2 ) ^{2}}{9} + 1 - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (x + 2))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln \frac{( x + 2 ) ^{2}}{9} + 1 - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (x + 2)) + C

グラフ

人気の例

d er i v a t i v e 4 x

derivative G(t)=(1-4t)/(5+t)

d er i v a t i v e G (t) = \frac{1 - 4 t}{5 + t}

derivative of (-cos(2x)/2)

\frac{d}{d x} (\frac{- cos ( 2 x )}{2})

limit as x approaches-1+of 3/(x^2-1)

x \to - 1 + lim (\frac{3}{x ^{2} - 1})

derivative of (3x+5^3)

\frac{d}{d x} ((3 x + 5)^{3})