integral of (5e^{2x}-e^x)/(e^{2x)-1}

解

\int \frac{5 e ^{2 x} - e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x

\frac{5}{2} ln e^{2 x} - 1 + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{5 e ^{2 x} - e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x

拡張

\frac{5 e ^{2 x} - e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} : \frac{5 e ^{2 x}}{e ^{2 x} - 1} - \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{5 e ^{2 x}}{e ^{2 x} - 1} d x - \int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x

\int \frac{5 e ^{2 x}}{e ^{2 x} - 1} d x = \frac{5}{2} ln e^{2 x} - 1

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x = - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣

= \frac{5}{2} ln e^{2 x} - 1 - (- \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣)

簡素化

= \frac{5}{2} ln e^{2 x} - 1 + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{5}{2} ln e^{2 x} - 1 + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C