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cos(2x)=tan(2x)

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解答

cos(2x)=tan(2x)

解答

x=20.66623…​+πn,x=2π​−20.66623…​+πn
+1
度数
x=19.08635…∘+180∘n,x=70.91364…∘+180∘n
求解步骤
cos(2x)=tan(2x)
两边减去 tan(2x)cos(2x)−tan(2x)=0
用 sin, cos 表示
cos(2x)−tan(2x)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)​=cos(2x)−cos(2x)sin(2x)​
化简 cos(2x)−cos(2x)sin(2x)​:cos(2x)cos2(2x)−sin(2x)​
cos(2x)−cos(2x)sin(2x)​
将项转换为分式: cos(2x)=cos(2x)cos(2x)cos(2x)​=cos(2x)cos(2x)cos(2x)​−cos(2x)sin(2x)​
因为分母相等,所以合并分式: ca​±cb​=ca±b​=cos(2x)cos(2x)cos(2x)−sin(2x)​
cos(2x)cos(2x)−sin(2x)=cos2(2x)−sin(2x)
cos(2x)cos(2x)−sin(2x)
cos(2x)cos(2x)=cos2(2x)
cos(2x)cos(2x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos(2x)cos(2x)=cos1+1(2x)=cos1+1(2x)
数字相加:1+1=2=cos2(2x)
=cos2(2x)−sin(2x)
=cos(2x)cos2(2x)−sin(2x)​
=cos(2x)cos2(2x)−sin(2x)​
cos(2x)cos2(2x)−sin(2x)​=0
g(x)f(x)​=0⇒f(x)=0cos2(2x)−sin(2x)=0
使用三角恒等式改写
cos2(2x)−sin(2x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=1−sin2(2x)−sin(2x)
1−sin(2x)−sin2(2x)=0
用替代法求解
1−sin(2x)−sin2(2x)=0
令:sin(2x)=u1−u−u2=0
1−u−u2=0:u=−21+5​​,u=25​−1​
1−u−u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−u2−u+1=0
使用求根公式求解
−u2−u+1=0
二次方程求根公式:
若 a=−1,b=−1,c=1u1,2​=2(−1)−(−1)±(−1)2−4(−1)⋅1​​
u1,2​=2(−1)−(−1)±(−1)2−4(−1)⋅1​​
(−1)2−4(−1)⋅1​=5​
(−1)2−4(−1)⋅1​
使用法则 −(−a)=a=(−1)2+4⋅1⋅1​
(−1)2=1
(−1)2
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−1)2=12=12
使用法则 1a=1=1
4⋅1⋅1=4
4⋅1⋅1
数字相乘:4⋅1⋅1=4=4
=1+4​
数字相加:1+4=5=5​
u1,2​=2(−1)−(−1)±5​​
将解分隔开u1​=2(−1)−(−1)+5​​,u2​=2(−1)−(−1)−5​​
u=2(−1)−(−1)+5​​:−21+5​​
2(−1)−(−1)+5​​
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅11+5​​
数字相乘:2⋅1=2=−21+5​​
使用分式法则: −ba​=−ba​=−21+5​​
u=2(−1)−(−1)−5​​:25​−1​
2(−1)−(−1)−5​​
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅11−5​​
数字相乘:2⋅1=2=−21−5​​
使用分式法则: −b−a​=ba​1−5​=−(5​−1)=25​−1​
二次方程组的解是:u=−21+5​​,u=25​−1​
u=sin(2x)代回sin(2x)=−21+5​​,sin(2x)=25​−1​
sin(2x)=−21+5​​,sin(2x)=25​−1​
sin(2x)=−21+5​​:无解
sin(2x)=−21+5​​
−1≤sin(x)≤1无解
sin(2x)=25​−1​:x=2arcsin(25​−1​)​+πn,x=2π​−2arcsin(25​−1​)​+πn
sin(2x)=25​−1​
使用反三角函数性质
sin(2x)=25​−1​
sin(2x)=25​−1​的通解sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πn2x=arcsin(25​−1​)+2πn,2x=π−arcsin(25​−1​)+2πn
2x=arcsin(25​−1​)+2πn,2x=π−arcsin(25​−1​)+2πn
解 2x=arcsin(25​−1​)+2πn:x=2arcsin(25​−1​)​+πn
2x=arcsin(25​−1​)+2πn
两边除以 2
2x=arcsin(25​−1​)+2πn
两边除以 222x​=2arcsin(25​−1​)​+22πn​
化简x=2arcsin(25​−1​)​+πn
x=2arcsin(25​−1​)​+πn
解 2x=π−arcsin(25​−1​)+2πn:x=2π​−2arcsin(25​−1​)​+πn
2x=π−arcsin(25​−1​)+2πn
两边除以 2
2x=π−arcsin(25​−1​)+2πn
两边除以 222x​=2π​−2arcsin(25​−1​)​+22πn​
化简x=2π​−2arcsin(25​−1​)​+πn
x=2π​−2arcsin(25​−1​)​+πn
x=2arcsin(25​−1​)​+πn,x=2π​−2arcsin(25​−1​)​+πn
合并所有解x=2arcsin(25​−1​)​+πn,x=2π​−2arcsin(25​−1​)​+πn
以小数形式表示解x=20.66623…​+πn,x=2π​−20.66623…​+πn

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