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Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)=cos(2x)

Lösung

2 sin (x) = cos (2 x)

Lösung

x = 0.37473 \dots + 2 πn, x = π - 0.37473 \dots + 2 πn

Grad

x = 21.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 158.52929 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (x) = cos (2 x)

Subtrahiere

cos (2 x)

von beiden Seiten

2 sin (x) - cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (2 x) + 2 sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x)

- 1 + 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 1 + 2 u + 2 u^{2} = 0

- 1 + 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 3}{2}, u = - \frac{1 + 3}{2}

- 1 + 2 u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

2^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 23

2^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 2} : \frac{- 1 + 3}{2}

\frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 3}{4}

Faktorisiere

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 3}{2}

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 2} : - \frac{1 + 3}{2}

\frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 3}{4}

Faktorisiere

- 2 - 23 : - 2 (1 + 3)

- 2 - 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 3)

= - \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1 + 3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 3}{2}, u = - \frac{1 + 3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{- 1 + 3}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 3}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 3}{2} : x = arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{- 1 + 3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{- 1 + 3}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.37473 \dots + 2 πn, x = π - 0.37473 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=-4/5

cos (x) = - \frac{4}{5}

2cos^2(x)+11sin(x)=7

2 cos^{2} (x) + 11 sin (x) = 7

cos(x)csc(x)=2cos(x)

cos (x) csc (x) = 2 cos (x)

cot(x)= 1/(sqrt(3))

cot (x) = \frac{1}{3}

2sin(3x-pi/3)=-sqrt(3),0<= x<= 2pi

2 sin (3 x - \frac{π}{3}) = - 3, 0 \leq x \leq 2 π