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Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)-4cos(x)=3,0<= x<= 2pi

Lösung

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3, 0 \leq x \leq 2 π

Lösung

x = - 2.76975 \dots + 2 π, x = 1.84246 \dots

Grad

x = 201.30453 \dots^{\circ}, x = 105.56536 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3, 0 \leq x \leq 2 π

Füge

4 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (x) = 3 + 4 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (x))^{2} = (3 + 4 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(3 + 4 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - 9 - 24 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 9 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 20 cos^{2} (x)

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 9 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 9 + 4 = - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 5 - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 5 - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0 : u = - \frac{6 + 11}{10}, u = - \frac{6 - 11}{10}

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 20 u^{2} - 24 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 20 u^{2} - 24 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 20, b = - 24, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) ( - 5 )}{2 ( - 20 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) ( - 5 )}{2 ( - 20 )}

(- 24)^{2} - 4 (- 20) (- 5) = 411

(- 24)^{2} - 4 (- 20) (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 24)^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 24)^{2} = 2 4^{2}

= 2 4^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 20 \cdot 5 = 400

= 2 4^{2} - 400

2 4^{2} = 576

= 576 - 400

Subtrahiere die Zahlen:

576 - 400 = 176

= 176

Primfaktorzerlegung von

176 : 2^{4} \cdot 11

176

176

ist durch

2176 = 88 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 88

88

ist durch

288 = 44 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 44

44

ist durch

244 = 22 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22

22

ist durch

222 = 11 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

2, 11

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

= 2^{4} \cdot 11

= 2^{4} \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 11 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 11

Fasse zusammen

= 411

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm 4 11}{2 ( - 20 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )}, u_{2} = \frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )}

u = \frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )} : - \frac{6 + 11}{10}

\frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{24 + 4 11}{- 2 \cdot 20}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{24 + 4 11}{- 40}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24 + 4 11}{40}

Streiche

\frac{24 + 4 11}{40} : \frac{6 + 11}{10}

\frac{24 + 4 11}{40}

Faktorisiere

24 + 411 : 4 (6 + 11)

24 + 411

Schreibe um

= 4 \cdot 6 + 411

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (6 + 11)

= \frac{4 ( 6 + 11 )}{40}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{6 + 11}{10}

= - \frac{6 + 11}{10}

u = \frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )} : - \frac{6 - 11}{10}

\frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{24 - 4 11}{- 2 \cdot 20}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{24 - 4 11}{- 40}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24 - 4 11}{40}

Streiche

\frac{24 - 4 11}{40} : \frac{6 - 11}{10}

\frac{24 - 4 11}{40}

Faktorisiere

24 - 411 : 4 (6 - 11)

24 - 411

Schreibe um

= 4 \cdot 6 - 411

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (6 - 11)

= \frac{4 ( 6 - 11 )}{40}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{6 - 11}{10}

= - \frac{6 - 11}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{6 + 11}{10}, u = - \frac{6 - 11}{10}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π : x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x \leq 2 π

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π : x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x \leq 2 π

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π, x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{6 + 11}{10}) :

Falsch

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

Setze

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10})

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (- \frac{6 + 11}{10})) - 4 cos (arccos (- \frac{6 + 11}{10})) = 3

Fasse zusammen

4.45329 \dots = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π :

Wahr

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

Setze

x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

2 sin (- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π) - 4 cos (- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{6 - 11}{10}) :

Wahr

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Setze

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10})

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (- \frac{6 - 11}{10})) - 4 cos (arccos (- \frac{6 - 11}{10})) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π :

Falsch

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Setze

x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

2 sin (- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π) - 4 cos (- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π) = 3

Fasse zusammen

- 0.85329 \dots = 3

\Rightarrow Falsch

x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π, x = arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.76975 \dots + 2 π, x = 1.84246 \dots

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(θ)-6sec(θ)+8=0

sec^{2} (θ) - 6 sec (θ) + 8 = 0

sin^2(x)-cos^2(x)-sin(x)=0

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - sin (x) = 0

10tan(x)sin(x)=sin(x)

10 tan (x) sin (x) = sin (x)

cos(2x)=2sin(x)cos(x)

cos (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin(θ)= 5/6

sin (θ) = \frac{5}{6}