English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

2sin(x)-4cos(x)=3,0<= x<= 2pi

الحلّ

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3, 0 \leq x \leq 2 π

الحلّ

x = - 2.76975 \dots + 2 π, x = 1.84246 \dots

درجات

x = 201.30453 \dots^{\circ}, x = 105.56536 \dots^{\circ}

خطوات الحلّ

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3, 0 \leq x \leq 2 π

للطرفين

4 cos (x)

أضف

2 sin (x) = 3 + 4 cos (x)

ربّع الطرفين

(2 sin (x))^{2} = (3 + 4 cos (x))^{2}

من الطرفين

(3 + 4 cos (x))^{2}

اطرح

4 sin^{2} (x) - 9 - 24 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

Rewrite using trig identities

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

بسّط:

- 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

4 (1 - cos^{2} (x))

وسٌع:

4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

4 \cdot 1 = 4 :

اضرب الأعداد

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

بسّط:

- 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

جمّع التعابير المتشابهة

= - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 9 + 4

- 16 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 20 cos^{2} (x) :

اجمع العناصر المتشابهة

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 9 + 4

- 9 + 4 = - 5 :

اطرح/اجمع الأعداد

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 5 - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

- 5 - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) = 0

cos (x) = u :

على افتراض أنّ

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0 : u = - \frac{6 + 11}{10}, u = - \frac{6 - 11}{10}

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- 20 u^{2} - 24 u - 5 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

- 20 u^{2} - 24 u - 5 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = - 20, b = - 24, c = - 5

لـ

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) ( - 5 )}{2 ( - 20 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) ( - 5 )}{2 ( - 20 )}

(- 24)^{2} - 4 (- 20) (- 5) = 411

(- 24)^{2} - 4 (- 20) (- 5)

- (- a) = a

فعّل القانون

= (- 24)^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 5

زوجيّ n

إذا تحقّق أنّ

, (- a)^{n} = a^{n}

:فعّل قانون القوى

(- 24)^{2} = 2 4^{2}

= 2 4^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 5

4 \cdot 20 \cdot 5 = 400 :

اضرب الأعداد

= 2 4^{2} - 400

2 4^{2} = 576

= 576 - 400

576 - 400 = 176 :

اطرح الأعداد

= 176

176

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{4} \cdot 11

176

176 = 88 \cdot 2, 2

ينقسم على

176

= 2 \cdot 88

88 = 44 \cdot 2, 2

ينقسم على

88

= 2 \cdot 2 \cdot 44

44 = 22 \cdot 2, 2

ينقسم على

44

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22

22 = 11 \cdot 2, 2

ينقسم على

22

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 11

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

= 2^{4} \cdot 11

= 2^{4} \cdot 11

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 11 2^{4}

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

:فعْل قانون الجذور

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 11

بسّط

= 411

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm 4 11}{2 ( - 20 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )}, u_{2} = \frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )}

u = \frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )} : - \frac{6 + 11}{10}

\frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )}

(- a) = - a, - (- a) = a

:احذف الأقواس

= \frac{24 + 4 11}{- 2 \cdot 20}

2 \cdot 20 = 40 :

اضرب الأعداد

= \frac{24 + 4 11}{- 40}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{24 + 4 11}{40}

\frac{24 + 4 11}{40}

اختزل:

\frac{6 + 11}{10}

\frac{24 + 4 11}{40}

24 + 411

حلل إلى عوامل:

4 (6 + 11)

24 + 411

أعد الكتابة كـ

= 4 \cdot 6 + 411

4

قم باخراج العامل المشترك

= 4 (6 + 11)

= \frac{4 ( 6 + 11 )}{40}

4 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{6 + 11}{10}

= - \frac{6 + 11}{10}

u = \frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )} : - \frac{6 - 11}{10}

\frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )}

(- a) = - a, - (- a) = a

:احذف الأقواس

= \frac{24 - 4 11}{- 2 \cdot 20}

2 \cdot 20 = 40 :

اضرب الأعداد

= \frac{24 - 4 11}{- 40}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{24 - 4 11}{40}

\frac{24 - 4 11}{40}

اختزل:

\frac{6 - 11}{10}

\frac{24 - 4 11}{40}

24 - 411

حلل إلى عوامل:

4 (6 - 11)

24 - 411

أعد الكتابة كـ

= 4 \cdot 6 - 411

4

قم باخراج العامل المشترك

= 4 (6 - 11)

= \frac{4 ( 6 - 11 )}{40}

4 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{6 - 11}{10}

= - \frac{6 - 11}{10}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = - \frac{6 + 11}{10}, u = - \frac{6 - 11}{10}

u = cos (x)

استبدل مجددًا

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π : x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π

Apply trig inverse properties

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn

0 \leq x \leq 2 π :

حلول للمدى

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π : x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π

Apply trig inverse properties

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn

0 \leq x \leq 2 π :

حلول للمدى

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

وحّد الحلول

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π, x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

تأكّد من صحّة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصليّة

للتحقّق من دقّة الحلول

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

عوّض الحلول في

إلغي الحلول التي تعطي قضيّة كذب

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

افحص الحل:

خطأ

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

n = 1

استبدل

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10})

عوّض

, 2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

في

2 sin (arccos (- \frac{6 + 11}{10})) - 4 cos (arccos (- \frac{6 + 11}{10})) = 3

بسّط

4.45329 \dots = 3

\Rightarrow خطأ

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

افحص الحل:

صحيح

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

n = 1

استبدل

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

عوّض

, 2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

في

2 sin (- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π) - 4 cos (- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π) = 3

بسّط

3 = 3

\Rightarrow صحيح

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

افحص الحل:

صحيح

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

n = 1

استبدل

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10})

عوّض

, 2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

في

2 sin (arccos (- \frac{6 - 11}{10})) - 4 cos (arccos (- \frac{6 - 11}{10})) = 3

بسّط

3 = 3

\Rightarrow صحيح

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

افحص الحل:

خطأ

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

n = 1

استبدل

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

عوّض

, 2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

في

2 sin (- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π) - 4 cos (- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π) = 3

بسّط

- 0.85329 \dots = 3

\Rightarrow خطأ

x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π, x = arccos (- \frac{6 - 11}{10})

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

x = - 2.76975 \dots + 2 π, x = 1.84246 \dots

رسم

أمثلة شائعة

sec^2(θ)-6sec(θ)+8=0

sec^{2} (θ) - 6 sec (θ) + 8 = 0

sin^2(x)-cos^2(x)-sin(x)=0

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - sin (x) = 0

10tan(x)sin(x)=sin(x)

10 tan (x) sin (x) = sin (x)

cos(2x)=2sin(x)cos(x)

cos (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin(θ)= 5/6

sin (θ) = \frac{5}{6}