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Popular Trigonometría >

2sin(x)-4cos(x)=3,0<= x<= 2pi

Solución

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3, 0 \leq x \leq 2 π

Solución

x = - 2.76975 \dots + 2 π, x = 1.84246 \dots

Grados

x = 201.30453 \dots^{\circ}, x = 105.56536 \dots^{\circ}

Pasos de solución

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3, 0 \leq x \leq 2 π

Sumar

4 cos (x)

a ambos lados

2 sin (x) = 3 + 4 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 sin (x))^{2} = (3 + 4 cos (x))^{2}

Restar

(3 + 4 cos (x))^{2}

de ambos lados

4 sin^{2} (x) - 9 - 24 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Simplificar

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 9 + 4

Sumar elementos similares:

- 16 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 20 cos^{2} (x)

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 9 + 4

Sumar/restar lo siguiente:

- 9 + 4 = - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 5 - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 5 - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0 : u = - \frac{6 + 11}{10}, u = - \frac{6 - 11}{10}

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 20 u^{2} - 24 u - 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 20 u^{2} - 24 u - 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 20, b = - 24, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) ( - 5 )}{2 ( - 20 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) ( - 5 )}{2 ( - 20 )}

(- 24)^{2} - 4 (- 20) (- 5) = 411

(- 24)^{2} - 4 (- 20) (- 5)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 24)^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 24)^{2} = 2 4^{2}

= 2 4^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 20 \cdot 5 = 400

= 2 4^{2} - 400

2 4^{2} = 576

= 576 - 400

Restar:

576 - 400 = 176

= 176

Descomposición en factores primos de

176 : 2^{4} \cdot 11

176

176

divida por

2176 = 88 \cdot 2

= 2 \cdot 88

88

divida por

288 = 44 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 44

44

divida por

244 = 22 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22

22

divida por

222 = 11 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

2, 11

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

= 2^{4} \cdot 11

= 2^{4} \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 11 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 11

Simplificar

= 411

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm 4 11}{2 ( - 20 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )}, u_{2} = \frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )}

u = \frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )} : - \frac{6 + 11}{10}

\frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{24 + 4 11}{- 2 \cdot 20}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{24 + 4 11}{- 40}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24 + 4 11}{40}

Cancelar

\frac{24 + 4 11}{40} : \frac{6 + 11}{10}

\frac{24 + 4 11}{40}

Factorizar

24 + 411 : 4 (6 + 11)

24 + 411

Reescribir como

= 4 \cdot 6 + 411

Factorizar el termino común

4

= 4 (6 + 11)

= \frac{4 ( 6 + 11 )}{40}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{6 + 11}{10}

= - \frac{6 + 11}{10}

u = \frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )} : - \frac{6 - 11}{10}

\frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{24 - 4 11}{- 2 \cdot 20}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{24 - 4 11}{- 40}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24 - 4 11}{40}

Cancelar

\frac{24 - 4 11}{40} : \frac{6 - 11}{10}

\frac{24 - 4 11}{40}

Factorizar

24 - 411 : 4 (6 - 11)

24 - 411

Reescribir como

= 4 \cdot 6 - 411

Factorizar el termino común

4

= 4 (6 - 11)

= \frac{4 ( 6 - 11 )}{40}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{6 - 11}{10}

= - \frac{6 - 11}{10}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{6 + 11}{10}, u = - \frac{6 - 11}{10}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π : x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x \leq 2 π

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π : x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x \leq 2 π

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π, x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{6 + 11}{10}) :

Falso

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

Multiplicar

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

por

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10})

2 sin (arccos (- \frac{6 + 11}{10})) - 4 cos (arccos (- \frac{6 + 11}{10})) = 3

Simplificar

4.45329 \dots = 3

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π :

Verdadero

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

Multiplicar

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

por

x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

2 sin (- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π) - 4 cos (- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π) = 3

Simplificar

3 = 3

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arccos (- \frac{6 - 11}{10}) :

Verdadero

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Multiplicar

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

por

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10})

2 sin (arccos (- \frac{6 - 11}{10})) - 4 cos (arccos (- \frac{6 - 11}{10})) = 3

Simplificar

3 = 3

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π :

Falso

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Multiplicar

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

por

x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

2 sin (- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π) - 4 cos (- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π) = 3

Simplificar

- 0.85329 \dots = 3

\Rightarrow Falso

x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π, x = arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 2.76975 \dots + 2 π, x = 1.84246 \dots

Gráfica

Ejemplos populares

sec^2(θ)-6sec(θ)+8=0

sin^2(x)-cos^2(x)-sin(x)=0

10tan(x)sin(x)=sin(x)

cos(2x)=2sin(x)cos(x)

sin(θ)= 5/6