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Beliebt Trigonometrie >

2sin^3(x)+sin^2(x)-2sin(x)-1=0

Lösung

2 sin^{3} (x) + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

+1

Grad

x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin^{3} (x) + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

2 sin^{3} (x) + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 = 0

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = - 1, u = 1

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 = 0

Faktorisiere

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 : (2 u + 1) (u + 1) (u - 1)

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1

= (2 u^{3} + u^{2}) + (- 2 u - 1)

Klammere

- 1

aus

- 2 u - 1

aus

: - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u + 1)

Klammere

u^{2}

aus

2 u^{3} + u^{2}

aus

: u^{2} (2 u + 1)

2 u^{3} + u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= 2 u u^{2} + u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

u^{2}

= u^{2} (2 u + 1)

= - (2 u + 1) + u^{2} (2 u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u + 1

= (2 u + 1) (u^{2} - 1)

Faktorisiere

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (2 u + 1) (u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u + 1) (u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

2 u + 1 = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Löse

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Die Lösungen sind

u = - \frac{1}{2}, u = - 1, u = 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = - 1, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = - 1, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5cos^2(θ)+cos(θ)=0

5 cos^{2} (θ) + cos (θ) = 0

solvefor x,z=sin(xy)

so l v e f or x, z = sin (x y)

3sec(x)+3tan(x)=3

3 sec (x) + 3 tan (x) = 3

tan(x)+cot(x)=4sin(2x)

tan (x) + cot (x) = 4 sin (2 x)

tan(θ)=(-sqrt(3))/3

tan (θ) = \frac{- 3}{3}