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Popolare Trigonometria >

sec(x)=tan(x)+1

Soluzione

sec (x) = tan (x) + 1

Soluzione

x = 2 πn

Gradi

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

sec (x) = tan (x) + 1

Sottrarre

tan (x) + 1

da entrambi i lati

sec (x) - tan (x) - 1 = 0

Esprimere con sen e cos

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Semplifica

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 : \frac{1 - sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1

Combinare le frazioni

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - 1

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x ) - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{1 - sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin (x) - cos (x) = 0

Aggiungi

cos (x)

ad entrambi i lati

1 - sin (x) = cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(1 - sin (x))^{2} = cos^{2} (x)

Sottrarre

cos^{2} (x)

da entrambi i lati

(1 - sin (x))^{2} - cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(1 - sin (x))^{2} - cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x))

Semplificare

(1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

(1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x))

(1 - sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Semplifica

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - (1 - sin^{2} (x))

- (1 - sin^{2} (x)) : - 1 + sin^{2} (x)

- (1 - sin^{2} (x))

Distribuire le parentesi

= - (1) - (- sin^{2} (x))

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x)

Semplifica

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x) : 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) + 1 - 1

Aggiungi elementi simili:

sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

- 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Risolvi con la formula quadratica

2 u^{2} - 2 u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a,

assumendo

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 1, u = 0

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = 0

sin (x) = 1, sin (x) = 0

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluzioni generali per

sin (x) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluzioni generali per

sin (x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

sec (x) = tan (x) + 1

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} + 2 πn :

Vero

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Per

sec (x) = tan (x) + 1

inserisci la

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) = tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 1

Affinare

\infty = \infty

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

2 πn :

Vero

2 πn

Inserire in

n = 1

2 π 1

Per

sec (x) = tan (x) + 1

inserisci la

x = 2 π 1

sec (2 π 1) = tan (2 π 1) + 1

Affinare

1 = 1

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Inserire in

n = 1

π + 2 π 1

Per

sec (x) = tan (x) + 1

inserisci la

x = π + 2 π 1

sec (π + 2 π 1) = tan (π + 2 π 1) + 1

Affinare

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 2 πn

Poiché l'equazione è non definita per:

\frac{π}{2} + 2 πn

x = 2 πn

Grafico

Esempi popolari

5cos(2x)+1=3cos(2x)

5 cos (2 x) + 1 = 3 cos (2 x)

2sin(4x)+6=5

2 sin (4 x) + 6 = 5

7sin(x)tan(x)=-8tan(x)

7 sin (x) tan (x) = - 8 tan (x)

sin^2(x)+2sin(x)-3=0

sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3 = 0

sin^2(x)-tan(x)cos^2(x)=0

sin^{2} (x) - tan (x) cos^{2} (x) = 0