English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

cos(θ)-sqrt(3)sin(θ)=1

الحلّ

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

الحلّ

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

درجات

θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

للطرفين

3 sin (θ)

أضف

cos (θ) = 1 + 3 sin (θ)

ربّع الطرفين

cos^{2} (θ) = (1 + 3 sin (θ))^{2}

من الطرفين

(1 + 3 sin (θ))^{2}

اطرح

cos^{2} (θ) - 1 - 23 sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) = 0

Rewrite using trig identities

- 1 + cos^{2} (θ) - 3 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 3 sin^{2} (θ) - 23 sin (θ) - sin^{2} (θ)

بسّط

= - 4 sin^{2} (θ) - 23 sin (θ)

- 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3 = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

- 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3 = 0

sin (θ) = u :

على افتراض أنّ

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- 4 u^{2} - 23 u = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

- 4 u^{2} - 23 u = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = - 4, b = - 23, c = 0

لـ

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0 = 23

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0

- (- a) = a

فعّل القانون

= (- 23)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 0

(- 23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(- 23)^{2}

زوجيّ n

إذا تحقّق أنّ

, (- a)^{n} = a^{n}

:فعّل قانون القوى

(- 23)^{2} = (23)^{2}

= (23)^{2}

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

:فعّل قانون القوى

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

a = a^{\frac{1}{2}}

:فعْل قانون الجذور

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

(a^{b})^{c} = a^{b c}

:فعّل قانون القوى

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{1 \cdot 2}{2}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 0 = 0

4 \cdot 4 \cdot 0

0 \cdot a = 0

فعّل القانون

= 0

= 2^{2} \cdot 3 + 0

2^{2} \cdot 3 + 0 = 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

:فعّل قانون الجذور

= 3 2^{2}

a \geq 0

بافتراض أنّ

:فعّل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm 2 3}{2 ( - 4 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}

(- a) = - a, - (- a) = a

:احذف الأقواس

= \frac{2 3 + 2 3}{- 2 \cdot 4}

23 + 23 = 43 :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{4 3}{- 2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{4 3}{- 8}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{4 3}{8}

4 :

إلغ العوامل المشتركة

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )} : 0

\frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

(- a) = - a, - (- a) = a

:احذف الأقواس

= \frac{2 3 - 2 3}{- 2 \cdot 4}

23 - 23 = 0 :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{0}{- 2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{0}{- 8}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{0}{8}

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

فعّل القانون

= - 0

= 0

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = - \frac{3}{2}, u = 0

u = sin (θ)

استبدل مجددًا

sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = 0

sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = 0

sin (θ) = - \frac{3}{2} : θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{3}{2}

sin (θ) = - \frac{3}{2} :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

sin (θ) = 0 :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

حلّ:

θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

وحّد الحلول

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

تأكّد من صحّة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصليّة

للتحقّق من دقّة الحلول

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

عوّض الحلول في

إلغي الحلول التي تعطي قضيّة كذب

\frac{4 π}{3} + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

\frac{4 π}{3} + 2 πn

n = 1

استبدل

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

θ = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

عوّض

, cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

في

cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) - 3 sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 1

بسّط

1 = 1

\Rightarrow صحيح

\frac{5 π}{3} + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

\frac{5 π}{3} + 2 πn

n = 1

استبدل

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

θ = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

عوّض

, cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

في

cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) - 3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 1

بسّط

2 = 1

\Rightarrow خطأ

2 πn

افحص الحل:

صحيح

2 πn

n = 1

استبدل

2 π 1

θ = 2 π 1

عوّض

, cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

في

cos (2 π 1) - 3 sin (2 π 1) = 1

بسّط

1 = 1

\Rightarrow صحيح

π + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

π + 2 πn

n = 1

استبدل

π + 2 π 1

θ = π + 2 π 1

عوّض

, cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

في

cos (π + 2 π 1) - 3 sin (π + 2 π 1) = 1

بسّط

- 1 = 1

\Rightarrow خطأ

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

sec(x)= 1/2

2cos^2(x)=sin(x)+1

csch(x)= 5/12

2sin^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi

3csc^2(5x)=-4