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Beliebt Trigonometrie >

tan(2θ)-2cos(θ)=0

Lösung

tan (2 θ) - 2 cos (θ) = 0

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (2 θ) - 2 cos (θ) = 0

Drücke mit sin, cos aus

tan (2 θ) - 2 cos (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} - 2 cos (θ)

Vereinfache

\frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} - 2 cos (θ) : \frac{sin ( 2 θ ) - 2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

\frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} - 2 cos (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 cos (θ) = \frac{2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} - \frac{2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 θ ) - 2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ ) - 2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

\frac{sin ( 2 θ ) - 2 cos ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( 2 θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 θ) - 2 cos (2 θ) cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 θ) - 2 cos (2 θ) cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) - 2 cos (2 θ) cos (θ)

- 2 cos (2 θ) cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

- 2 cos (2 θ) cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) : 2 cos (θ) (- cos (2 θ) + sin (θ))

- 2 cos (2 θ) cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Schreibe um

= - 2 cos (θ) cos (2 θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

2 cos (θ)

= 2 cos (θ) (- cos (2 θ) + sin (θ))

2 cos (θ) (- cos (2 θ) + sin (θ)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (θ) = 0 or - cos (2 θ) + sin (θ) = 0

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

- cos (2 θ) + sin (θ) = 0 : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

- cos (2 θ) + sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (2 θ) + sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - (1 - 2 sin^{2} (θ)) + sin (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (θ)

= - 1 + 2 sin^{2} (θ) + sin (θ)

- 1 + sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 1 + u + 2 u^{2} = 0

- 1 + u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 1 + u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)= 12/5 ,pi<θ<(3pi)/2

tan (θ) = \frac{12}{5}, π < θ < \frac{3 π}{2}

sqrt(3)tan(3θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

3 tan (3 θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

cos(2x)-sqrt(3)sin(x)=1

cos (2 x) - 3 sin (x) = 1

-2sin(x)-sin(2x)=0

- 2 sin (x) - sin (2 x) = 0

-sin(x)+cos(2x)=0

- sin (x) + cos (2 x) = 0