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人気のある三角関数 >

3sin(x)+4cos(x)=2

解

3 sin (x) + 4 cos (x) = 2

解

x = 1.80278 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.51577 \dots + 2 πn

+1

度

x = 103.29171 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 330.44807 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 sin (x) + 4 cos (x) = 2

両辺から

4 cos (x)

を引く

3 sin (x) = 2 - 4 cos (x)

両辺を2乗する

(3 sin (x))^{2} = (2 - 4 cos (x))^{2}

両辺から

(2 - 4 cos (x))^{2}

を引く

9 sin^{2} (x) - 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

拡張

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

数を乗じる:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 4 + 9

類似した元を足す:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 4 + 9

数を足す/引く:

- 4 + 9 = 5

= 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

= 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

= 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

5 + 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

置換で解く

5 + 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

5 + 16 u - 25 u^{2} = 0

5 + 16 u - 25 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 8 + 3 21}{25}, u = \frac{8 + 3 21}{25}

5 + 16 u - 25 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 16 u + 5 = 0

解くとthe二次式

- 25 u^{2} + 16 u + 5 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 25, b = 16, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- 16 \pm 1 6 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 5}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 16 \pm 1 6 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 5}{2 ( - 25 )}

1 6^{2} - 4 (- 25) \cdot 5 = 621

1 6^{2} - 4 (- 25) \cdot 5

規則を適用

- (- a) = a

= 1 6^{2} + 4 \cdot 25 \cdot 5

数を乗じる:

4 \cdot 25 \cdot 5 = 500

= 1 6^{2} + 500

1 6^{2} = 256

= 256 + 500

数を足す:

256 + 500 = 756

= 756

以下の素因数分解:

756 : 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7

756

7562756 = 378 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 378

3782378 = 189 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 189

1893189 = 63 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 63

63363 = 21 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21

21321 = 7 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7

= 3^{3} \cdot 2^{2} \cdot 7

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3 \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 3 \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 3 \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 3 \cdot 7

改良

= 621

u_{1, 2} = \frac{- 16 \pm 6 21}{2 ( - 25 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 16 + 6 21}{2 ( - 25 )}, u_{2} = \frac{- 16 - 6 21}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 16 + 6 21}{2 ( - 25 )} : - \frac{- 8 + 3 21}{25}

\frac{- 16 + 6 21}{2 ( - 25 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 16 + 6 21}{- 2 \cdot 25}

数を乗じる:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 16 + 6 21}{- 50}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 16 + 6 21}{50}

キャンセル

\frac{- 16 + 6 21}{50} : \frac{3 21 - 8}{25}

\frac{- 16 + 6 21}{50}

因数

- 16 + 621 : 2 (- 8 + 321)

- 16 + 621

書き換え

= - 2 \cdot 8 + 2 \cdot 321

共通項をくくり出す

2

= 2 (- 8 + 321)

= \frac{2 ( - 8 + 3 21 )}{50}

共通因数を約分する:

2

= \frac{- 8 + 3 21}{25}

= - \frac{3 21 - 8}{25}

= - \frac{- 8 + 3 21}{25}

u = \frac{- 16 - 6 21}{2 ( - 25 )} : \frac{8 + 3 21}{25}

\frac{- 16 - 6 21}{2 ( - 25 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 16 - 6 21}{- 2 \cdot 25}

数を乗じる:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 16 - 6 21}{- 50}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 16 - 621 = - (16 + 621)

= \frac{16 + 6 21}{50}

因数

16 + 621 : 2 (8 + 321)

16 + 621

書き換え

= 2 \cdot 8 + 2 \cdot 321

共通項をくくり出す

2

= 2 (8 + 321)

= \frac{2 ( 8 + 3 21 )}{50}

共通因数を約分する:

2

= \frac{8 + 3 21}{25}

二次equationの解:

u = - \frac{- 8 + 3 21}{25}, u = \frac{8 + 3 21}{25}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}, cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}, cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25} : x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25} : x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

以下の一般解

cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

3 sin (x) + 4 cos (x) = 2

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 cos (x) = 2

の挿入向け

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) + 4 cos (arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) = 2

改良

2 = 2

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 cos (x) = 2

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) + 4 cos (- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) = 2

改良

- 3.83927 \dots = 2

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn :

偽

arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 cos (x) = 2

の挿入向け

x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) + 4 cos (arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) = 2

改良

4.95927 \dots = 2

\Rightarrow 偽

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn :

真

2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 cos (x) = 2

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) + 4 cos (2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) = 2

改良

2 = 2

\Rightarrow 真

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 1.80278 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.51577 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

cot^2(x)-6cot(x)+5=0,0<= x<= 2pi

cot^{2} (x) - 6 cot (x) + 5 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

9tan(θ)+13=2tan(θ)+6

9 tan (θ) + 13 = 2 tan (θ) + 6

2 = 3 sin (∣ 5 x ∣) + 1

sin (θ) = - \frac{1}{3}

sin (θ) = - \frac{1}{4}