解答
cot(x)+5csc(x)=6
解答
x=1.13005…+2πn,x=2.34183…+2πn
+1
度数
x=64.74731…∘+360∘n,x=134.17732…∘+360∘n求解步骤
cot(x)+5csc(x)=6
两边减去 6cot(x)+5csc(x)−6=0
用 sin, cos 表示sin(x)cos(x)+5⋅sin(x)1−6=0
化简 sin(x)cos(x)+5⋅sin(x)1−6:sin(x)cos(x)+5−6sin(x)
sin(x)cos(x)+5⋅sin(x)1−6
5⋅sin(x)1=sin(x)5
5⋅sin(x)1
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=sin(x)1⋅5
数字相乘:1⋅5=5=sin(x)5
=sin(x)cos(x)+sin(x)5−6
合并分式 sin(x)cos(x)+sin(x)5:sin(x)cos(x)+5
使用法则 ca±cb=ca±b=sin(x)cos(x)+5
=sin(x)cos(x)+5−6
将项转换为分式: 6=sin(x)6sin(x)=sin(x)cos(x)+5−sin(x)6sin(x)
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=sin(x)cos(x)+5−6sin(x)
sin(x)cos(x)+5−6sin(x)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=0cos(x)+5−6sin(x)=0
两边加上 6sin(x)cos(x)+5=6sin(x)
两边进行平方(cos(x)+5)2=(6sin(x))2
两边减去 (6sin(x))2(cos(x)+5)2−36sin2(x)=0
使用三角恒等式改写
(5+cos(x))2−36sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=(5+cos(x))2−36(1−cos2(x))
化简 (5+cos(x))2−36(1−cos2(x)):37cos2(x)+10cos(x)−11
(5+cos(x))2−36(1−cos2(x))
(5+cos(x))2:25+10cos(x)+cos2(x)
使用完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2a=5,b=cos(x)
=52+2⋅5cos(x)+cos2(x)
化简 52+2⋅5cos(x)+cos2(x):25+10cos(x)+cos2(x)
52+2⋅5cos(x)+cos2(x)
52=25=25+2⋅5cos(x)+cos2(x)
数字相乘:2⋅5=10=25+10cos(x)+cos2(x)
=25+10cos(x)+cos2(x)
=25+10cos(x)+cos2(x)−36(1−cos2(x))
乘开 −36(1−cos2(x)):−36+36cos2(x)
−36(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−36,b=1,c=cos2(x)=−36⋅1−(−36)cos2(x)
使用加减运算法则−(−a)=a=−36⋅1+36cos2(x)
数字相乘:36⋅1=36=−36+36cos2(x)
=25+10cos(x)+cos2(x)−36+36cos2(x)
化简 25+10cos(x)+cos2(x)−36+36cos2(x):37cos2(x)+10cos(x)−11
25+10cos(x)+cos2(x)−36+36cos2(x)
对同类项分组=10cos(x)+cos2(x)+36cos2(x)+25−36
同类项相加:cos2(x)+36cos2(x)=37cos2(x)=10cos(x)+37cos2(x)+25−36
数字相加/相减:25−36=−11=37cos2(x)+10cos(x)−11
=37cos2(x)+10cos(x)−11
=37cos2(x)+10cos(x)−11
−11+10cos(x)+37cos2(x)=0
用替代法求解
−11+10cos(x)+37cos2(x)=0
令:cos(x)=u−11+10u+37u2=0
−11+10u+37u2=0:u=37−5+123,u=−375+123
−11+10u+37u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=037u2+10u−11=0
使用求根公式求解
37u2+10u−11=0
二次方程求根公式:
若 a=37,b=10,c=−11u1,2=2⋅37−10±102−4⋅37(−11)
u1,2=2⋅37−10±102−4⋅37(−11)
102−4⋅37(−11)=243
102−4⋅37(−11)
使用法则 −(−a)=a=102+4⋅37⋅11
数字相乘:4⋅37⋅11=1628=102+1628
102=100=100+1628
数字相加:100+1628=1728=1728
1728质因数分解:26⋅33
1728
1728除以 21728=864⋅2=2⋅864
864除以 2864=432⋅2=2⋅2⋅432
432除以 2432=216⋅2=2⋅2⋅2⋅216
216除以 2216=108⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅108
108除以 2108=54⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅54
54除以 254=27⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅27
27除以 327=9⋅3=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅9
9除以 39=3⋅3=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3
2,3 都是质数，因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3
=26⋅33
=26⋅33
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=26⋅32⋅3
使用根式运算法则: nab=nanb=32632
使用根式运算法则: nam=anm26=226=23=23332
使用根式运算法则: nan=a32=3=23⋅33
整理后得=243
u1,2=2⋅37−10±243
将解分隔开u1=2⋅37−10+243,u2=2⋅37−10−243
u=2⋅37−10+243:37−5+123
2⋅37−10+243
数字相乘:2⋅37=74=74−10+243
分解 −10+243:2(−5+123)
−10+243
改写为=−2⋅5+2⋅123
因式分解出通项 2=2(−5+123)
=742(−5+123)
约分:2=37−5+123
u=2⋅37−10−243:−375+123
2⋅37−10−243
数字相乘:2⋅37=74=74−10−243
分解 −10−243:−2(5+123)
−10−243
改写为=−2⋅5−2⋅123
因式分解出通项 2=−2(5+123)
=−742(5+123)
约分:2=−375+123
二次方程组的解是:u=37−5+123,u=−375+123
u=cos(x)代回cos(x)=37−5+123,cos(x)=−375+123
cos(x)=37−5+123,cos(x)=−375+123
cos(x)=37−5+123:x=arccos(37−5+123)+2πn,x=2π−arccos(37−5+123)+2πn
cos(x)=37−5+123
使用反三角函数性质
cos(x)=37−5+123
cos(x)=37−5+123的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(37−5+123)+2πn,x=2π−arccos(37−5+123)+2πn
x=arccos(37−5+123)+2πn,x=2π−arccos(37−5+123)+2πn
cos(x)=−375+123:x=arccos(−375+123)+2πn,x=−arccos(−375+123)+2πn
cos(x)=−375+123
使用反三角函数性质
cos(x)=−375+123
cos(x)=−375+123的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−375+123)+2πn,x=−arccos(−375+123)+2πn
x=arccos(−375+123)+2πn,x=−arccos(−375+123)+2πn
合并所有解x=arccos(37−5+123)+2πn,x=2π−arccos(37−5+123)+2πn,x=arccos(−375+123)+2πn,x=−arccos(−375+123)+2πn
将解代入原方程进行验证
将它们代入 cot(x)+5csc(x)=6检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 arccos(37−5+123)+2πn的解:真
arccos(37−5+123)+2πn
代入 n=1arccos(37−5+123)+2π1
对于 cot(x)+5csc(x)=6代入x=arccos(37−5+123)+2π1cot(arccos(37−5+123)+2π1)+5csc(arccos(37−5+123)+2π1)=6
整理后得6=6
⇒真
检验 2π−arccos(37−5+123)+2πn的解:假
2π−arccos(37−5+123)+2πn
代入 n=12π−arccos(37−5+123)+2π1
对于 cot(x)+5csc(x)=6代入x=2π−arccos(37−5+123)+2π1cot(2π−arccos(37−5+123)+2π1)+5csc(2π−arccos(37−5+123)+2π1)=6
整理后得−6=6
⇒假
检验 arccos(−375+123)+2πn的解:真
arccos(−375+123)+2πn
代入 n=1arccos(−375+123)+2π1
对于 cot(x)+5csc(x)=6代入x=arccos(−375+123)+2π1cot(arccos(−375+123)+2π1)+5csc(arccos(−375+123)+2π1)=6
整理后得6=6
⇒真
检验 −arccos(−375+123)+2πn的解:假
−arccos(−375+123)+2πn
代入 n=1−arccos(−375+123)+2π1
对于 cot(x)+5csc(x)=6代入x=−arccos(−375+123)+2π1cot(−arccos(−375+123)+2π1)+5csc(−arccos(−375+123)+2π1)=6
整理后得−6=6
⇒假
x=arccos(37−5+123)+2πn,x=arccos(−375+123)+2πn
以小数形式表示解x=1.13005…+2πn,x=2.34183…+2πn