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Popular Trigonometría >

tan(θ)=(sqrt(2))/2 csc(θ)

Solución

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Solución

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grados

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Restar

\frac{2}{2} csc (θ)

de ambos lados

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2} = 0

Simplificar

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2} : \frac{2 tan ( θ ) - csc ( θ )}{2}

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2}

Convertir a fracción:

tan (θ) = \frac{tan ( θ ) 2}{2}

= \frac{tan ( θ ) 2}{2} - \frac{csc ( θ )}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( θ ) 2 - csc ( θ )}{2}

\frac{2 tan ( θ ) - csc ( θ )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 tan (θ) - csc (θ) = 0

Expresar con seno, coseno

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} = 0

Simplificar

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

Multiplicar

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )}

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

Mínimo común múltiplo de

cos (θ), sin (θ) : cos (θ) sin (θ)

cos (θ), sin (θ)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (θ)

sin (θ)

= cos (θ) sin (θ)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (θ)

\frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) 2 sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Para

\frac{1}{sin ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (θ)

\frac{1}{sin ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

Sumar

cos (θ)

a ambos lados

2 sin^{2} (θ) = cos (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 sin^{2} (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

Restar

cos^{2} (θ)

de ambos lados

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Factorizar

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ) : (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Reescribir

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

como

(2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (θ) = (sin^{2} (θ))^{2}

= (2)^{2} (sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} (sin^{2} (θ))^{2} = (2 sin^{2} (θ))^{2}

= (2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

= (2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

= (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

(2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ)) = 0

Resolver cada parte por separado

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0 or 2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (θ) + sin^{2} (θ) 2

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2

cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Usando el método de sustitución

cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Sea:

cos (θ) = u

u + (1 - u^{2}) 2 = 0

u + (1 - u^{2}) 2 = 0 : u = - \frac{2}{2}, u = 2

u + (1 - u^{2}) 2 = 0

Desarrollar

u + (1 - u^{2}) 2 : u + 2 - 2 u^{2}

u + (1 - u^{2}) 2

= u + 2 (1 - u^{2})

Expandir

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

= 1 \cdot 2 - 2 u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= u + 2 - 2 u^{2}

u + 2 - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) 2 = 3

1^{2} - 4 (- 2) 2

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 42 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 422

422 = 8

422

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Sumar:

1 + 8 = 9

= 9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2 2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 2

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 2}

Restar:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{2 2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{2}{2}, u = 2

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{2}{2}, cos (θ) = 2

cos (θ) = - \frac{2}{2}, cos (θ) = 2

cos (θ) = - \frac{2}{2} : θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = 2 :

Sin solución

cos (θ) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos (θ) + sin^{2} (θ) 2

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2

- cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Usando el método de sustitución

- cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Sea:

cos (θ) = u

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0 : u = - 2, u = \frac{2}{2}

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0

Desarrollar

- u + (1 - u^{2}) 2 : - u + 2 - 2 u^{2}

- u + (1 - u^{2}) 2

= - u + 2 (1 - u^{2})

Expandir

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

= 1 \cdot 2 - 2 u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= - u + 2 - 2 u^{2}

- u + 2 - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) 2 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 2) 2

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 422

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

422 = 8

422

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Sumar:

1 + 8 = 9

= 9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 2}

Sumar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2 2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{2}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 2}

Restar:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2 2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{2}

Racionalizar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 2, u = \frac{2}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = - 2, cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = - 2, cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = - 2 :

Sin solución

cos (θ) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (θ) = \frac{2}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{3 π}{4} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{4} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{3 π}{4} + 2 π 1

Multiplicar

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

por

θ = \frac{3 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{3 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{3 π}{4} + 2 π 1)

Simplificar

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{5 π}{4} + 2 πn :

Falso

\frac{5 π}{4} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{5 π}{4} + 2 π 1

Multiplicar

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

por

θ = \frac{5 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{5 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{5 π}{4} + 2 π 1)

Simplificar

1 = - 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{π}{4} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{4} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{4} + 2 π 1

Multiplicar

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

por

θ = \frac{π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{π}{4} + 2 π 1)

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{7 π}{4} + 2 πn :

Verdadero

\frac{7 π}{4} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{7 π}{4} + 2 π 1

Multiplicar

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

por

θ = \frac{7 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{7 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{7 π}{4} + 2 π 1)

Simplificar

- 1 = - 1

\Rightarrow Verdadero

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares