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Beliebt Trigonometrie >

4cos(2x)+3cos(x)=1

Lösung

4 cos (2 x) + 3 cos (x) = 1

Lösung

x = 0.89566 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.89566 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 51.31781 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.68218 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (2 x) + 3 cos (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

4 cos (2 x) + 3 cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 3 cos (x) + 4 cos (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 + 3 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1)

Vereinfache

- 1 + 3 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 5

- 1 + 3 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

4 (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{2} (x) - 4

4 (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Vereinfache

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (x) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= - 1 + 3 cos (x) + 8 cos^{2} (x) - 4

Vereinfache

- 1 + 3 cos (x) + 8 cos^{2} (x) - 4 : 8 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 5

- 1 + 3 cos (x) + 8 cos^{2} (x) - 4

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 cos (x) + 8 cos^{2} (x) - 1 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 4 = - 5

= 8 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 5

= 8 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 5

= 8 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 5

- 5 + 3 cos (x) + 8 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 5 + 3 cos (x) + 8 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 5 + 3 u + 8 u^{2} = 0

- 5 + 3 u + 8 u^{2} = 0 : u = \frac{5}{8}, u = - 1

- 5 + 3 u + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 3 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} + 3 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = 3, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 5 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 5 )}{2 \cdot 8}

3^{2} - 4 \cdot 8 (- 5) = 13

3^{2} - 4 \cdot 8 (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 5 = 160

= 3^{2} + 160

3^{2} = 9

= 9 + 160

Addiere die Zahlen:

9 + 160 = 169

= 169

Faktorisiere die Zahl:

169 = 1 3^{2}

= 1 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 3^{2} = 13

= 13

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 13}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 13}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 3 - 13}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 3 + 13}{2 \cdot 8} : \frac{5}{8}

\frac{- 3 + 13}{2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 13 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{10}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5}{8}

u = \frac{- 3 - 13}{2 \cdot 8} : - 1

\frac{- 3 - 13}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 13 = - 16

= \frac{- 16}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 16}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{16}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5}{8}, u = - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{5}{8}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{5}{8}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{5}{8} : x = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5}{8}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{5}{8}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{5}{8}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, x = π + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.89566 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.89566 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

0=2sin(x)

0 = 2 sin (x)

cos(x)=(sqrt(2))/3

cos (x) = \frac{2}{3}

4sin(θ)+5=7

4 sin (θ) + 5 = 7

6arcsin(x)=pi

6 arcsin (x) = π

sin(x)=(-1)/(sqrt(2))

sin (x) = \frac{- 1}{2}