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Popular Trigonometría >

sqrt(cos^2(2x)+1)+sin(2x)=2

Solución

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) = 2

Solución

x = \frac{π}{4} + πn

Grados

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) = 2

Restar

2

de ambos lados

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) - 2 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 + sin (2 x) + 1 + cos^{2} (2 x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 + sin (2 x) + 1 + 1 - sin^{2} (2 x)

Simplificar

= - 2 + sin (2 x) + - sin^{2} (2 x) + 2

- 2 + sin (2 x) + 2 - sin^{2} (2 x) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 + sin (2 x) + 2 - sin^{2} (2 x) = 0

Sea:

sin (2 x) = u

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0 : u = 1

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Eliminar raíces cuadradas

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Restar

u

de ambos lados

- 2 + u + 2 - u^{2} - u = 0 - u

Simplificar

2 - u^{2} - 2 = - u

Sumar

2

a ambos lados

2 - u^{2} - 2 + 2 = - u + 2

Simplificar

2 - u^{2} = - u + 2

Elevar al cuadrado ambos lados:

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

(2 - u^{2})^{2} = (- u + 2)^{2}

Desarrollar

(2 - u^{2})^{2} : 2 - u^{2}

(2 - u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((2 - u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (2 - u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2 - u^{2}

Desarrollar

(- u + 2)^{2} : u^{2} - 4 u + 4

(- u + 2)^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - u, b = 2

= (- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2}

Simplificar

(- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2} : u^{2} - 4 u + 4

(- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= (- u)^{2} - 2 u \cdot 2 + 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2} - 2 \cdot 2 u + 2^{2}

Simplificar

= u^{2} - 4 u + 4

= u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

Resolver

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4 : u = 1

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

Intercambiar lados

u^{2} - 4 u + 4 = 2 - u^{2}

Desplace

u^{2}

a la izquierda

u^{2} - 4 u + 4 = 2 - u^{2}

Sumar

u^{2}

a ambos lados

u^{2} - 4 u + 4 + u^{2} = 2 - u^{2} + u^{2}

Simplificar

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

Desplace

2

a la izquierda

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

Restar

2

de ambos lados

2 u^{2} - 4 u + 4 - 2 = 2 - 2

Simplificar

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 4, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Restar:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2} = 1

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = 1

La solución a la ecuación de segundo grado es:

u = 1

u = 1

Verificar las soluciones:

u = 1

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

u = 1 :

Verdadero

- 2 + 1 + 2 - 1^{2} = 0

- 2 + 1 + 2 - 1^{2} = 0

- 2 + 1 + 2 - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= - 2 + 1 + 2 - 1

2 - 1 = 1

2 - 1

Restar:

2 - 1 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

= - 2 + 1 + 1

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 1 + 1 = 0

= 0

0 = 0

Verdadero

La solución es

u = 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (2 x)

sin (2 x) = 1

sin (2 x) = 1

sin (2 x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (2 x) = 1

Soluciones generales para

sin (2 x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Resolver

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4} + πn

Gráfica

Ejemplos populares

8sin^2(x)2cos(x)=7,0<= x<= 2pi