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Beliebt Trigonometrie >

-5cos^2(θ)-9sin(θ)+8=-sin(θ)

Lösung

- 5 cos^{2} (θ) - 9 sin (θ) + 8 = - sin (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 0.64350 \dots + 2 πn, θ = π - 0.64350 \dots + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 143.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 5 cos^{2} (θ) - 9 sin (θ) + 8 = - sin (θ)

Subtrahiere

- sin (θ)

von beiden Seiten

- 5 cos^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 8 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

8 - 5 cos^{2} (θ) - 8 sin (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 8 - 5 (1 - sin^{2} (θ)) - 8 sin (θ)

Vereinfache

8 - 5 (1 - sin^{2} (θ)) - 8 sin (θ) : 5 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 3

8 - 5 (1 - sin^{2} (θ)) - 8 sin (θ)

Multipliziere aus

- 5 (1 - sin^{2} (θ)) : - 5 + 5 sin^{2} (θ)

- 5 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 5 \cdot 1 - (- 5) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 5 \cdot 1 + 5 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 + 5 sin^{2} (θ)

= 8 - 5 + 5 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 5 = 3

= 5 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 3

= 5 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 3

3 + 5 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) = 0

Löse mit Substitution

3 + 5 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

3 + 5 u^{2} - 8 u = 0

3 + 5 u^{2} - 8 u = 0 : u = 1, u = \frac{3}{5}

3 + 5 u^{2} - 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 5}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 2

(- 8)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

Subtrahiere die Zahlen:

64 - 60 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 5} : 1

\frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 + 2}{2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

8 + 2 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{10}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 5} : \frac{3}{5}

\frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 - 2}{2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 2 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{3}{5}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 1, sin (θ) = \frac{3}{5}

sin (θ) = 1, sin (θ) = \frac{3}{5}

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = \frac{3}{5} : θ = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 0.64350 \dots + 2 πn, θ = π - 0.64350 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin(3θ)+sqrt(2)=0

2 sin (3 θ) + 2 = 0

sec(θ)=-13/12

sec (θ) = - \frac{13}{12}

0=-sin(x)-cos(x)

0 = - sin (x) - cos (x)

9sin(θ)-7=0

9 sin (θ) - 7 = 0

csc(2x)=sqrt(2)

csc (2 x) = 2