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人気のある三角関数 >

-5cos^2(θ)-4cos(θ)+4=0

解

- 5 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) + 4 = 0

解

θ = 0.95231 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.95231 \dots + 2 πn

+1

度

θ = 54.56381 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 305.43618 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

- 5 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) + 4 = 0

置換で解く

- 5 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) + 4 = 0

仮定:

cos (θ) = u

- 5 u^{2} - 4 u + 4 = 0

- 5 u^{2} - 4 u + 4 = 0 : u = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}, u = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

- 5 u^{2} - 4 u + 4 = 0

解くとthe二次式

- 5 u^{2} - 4 u + 4 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 5, b = - 4, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 4}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 4}{2 ( - 5 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 4 = 46

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 4

規則を適用

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

数を乗じる:

4 \cdot 5 \cdot 4 = 80

= 4^{2} + 80

4^{2} = 16

= 16 + 80

数を足す:

16 + 80 = 96

= 96

以下の素因数分解:

96 : 2^{5} \cdot 3

96

96296 = 48 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 48

48248 = 24 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 24

24224 = 12 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 12

12212 = 6 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

626 = 3 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2 \cdot 3

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2^{4} 2 \cdot 3

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2 \cdot 3

改良

= 46

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4 6}{2 ( - 5 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4 6}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4 6}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4 6}{2 ( - 5 )} : - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

\frac{- ( - 4 ) + 4 6}{2 ( - 5 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 4 6}{- 2 \cdot 5}

数を乗じる:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{4 + 4 6}{- 10}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 4 6}{10}

キャンセル

\frac{4 + 4 6}{10} : \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

\frac{4 + 4 6}{10}

因数

4 + 46 : 4 (1 + 6)

4 + 46

書き換え

= 4 \cdot 1 + 46

共通項をくくり出す

4

= 4 (1 + 6)

= \frac{4 ( 1 + 6 )}{10}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

= - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4 6}{2 ( - 5 )} : \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

\frac{- ( - 4 ) - 4 6}{2 ( - 5 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 4 6}{- 2 \cdot 5}

数を乗じる:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{4 - 4 6}{- 10}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 46 = - (46 - 4)

= \frac{4 6 - 4}{10}

因数

46 - 4 : 4 (6 - 1)

46 - 4

書き換え

= 46 - 4 \cdot 1

共通項をくくり出す

4

= 4 (6 - 1)

= \frac{4 ( 6 - 1 )}{10}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

二次equationの解:

u = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}, u = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}, cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}, cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5} :

解なし

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

解なし

cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5} : θ = arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 0.95231 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.95231 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

cos (x) = 0.159

sin(2x)=1-cos(2x)

sin (2 x) = 1 - cos (2 x)

- 1 = cos (θ)

sin(θ)sec(θ)=tan^2(θ)

sin (θ) sec (θ) = tan^{2} (θ)

sin(3x)-2sin(x)=0

sin (3 x) - 2 sin (x) = 0