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Beliebt Trigonometrie >

2tan^3(x)-2/3 tan(x)=0

Lösung

2 tan^{3} (x) - \frac{2}{3} tan (x) = 0

Lösung

x = πn, x = \frac{5 π}{6} + πn, x = \frac{π}{6} + πn

Grad

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 tan^{3} (x) - \frac{2}{3} tan (x) = 0

Löse mit Substitution

2 tan^{3} (x) - \frac{2}{3} tan (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

2 u^{3} - \frac{2}{3} u = 0

2 u^{3} - \frac{2}{3} u = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

2 u^{3} - \frac{2}{3} u = 0

Faktorisiere

2 u^{3} - \frac{2}{3} u : u (2 u + \frac{2}{3}) (2 u - \frac{2}{3})

2 u^{3} - \frac{2}{3} u

Klammere gleiche Terme aus

u : u (2 u^{2} - \frac{2}{3})

2 u^{3} - \frac{2 u}{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 2 u^{2} u - \frac{2 u}{3}

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u^{2} - \frac{2}{3})

= u (2 u^{2} - \frac{2}{3})

Faktorisiere

2 u^{2} - \frac{2}{3} : (2 u + \frac{2}{3}) (2 u - \frac{2}{3})

2 u^{2} - \frac{2}{3}

Schreibe

2 u^{2} - \frac{2}{3}

um:

(2 u)^{2} - (\frac{2}{3})^{2}

2 u^{2} - \frac{2}{3}

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - \frac{2}{3}

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

\frac{2}{3} = (\frac{2}{3})^{2}

= (2)^{2} u^{2} - (\frac{2}{3})^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - (\frac{2}{3})^{2}

= (2 u)^{2} - (\frac{2}{3})^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - (\frac{2}{3})^{2} = (2 u + \frac{2}{3}) (2 u - \frac{2}{3})

= (2 u + \frac{2}{3}) (2 u - \frac{2}{3})

= u (2 u + \frac{2}{3}) (2 u - \frac{2}{3})

u (2 u + \frac{2}{3}) (2 u - \frac{2}{3}) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or 2 u + \frac{2}{3} = 0 or 2 u - \frac{2}{3} = 0

Löse

2 u + \frac{2}{3} = 0 : u = - \frac{3}{3}

2 u + \frac{2}{3} = 0

Verschiebe

\frac{2}{3}

auf die rechte Seite

2 u + \frac{2}{3} = 0

Subtrahiere

\frac{2}{3}

von beiden Seiten

2 u + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 - \frac{2}{3}

Vereinfache

2 u = - \frac{2}{3}

2 u = - \frac{2}{3}

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - \frac{2}{3}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{- \frac{2}{3}}{2} : - \frac{3}{3}

\frac{- \frac{2}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{2}{3}}{2}

\frac{2}{3} = \frac{2}{3}

\frac{2}{3}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2}{3}

= - \frac{\frac{2}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= - \frac{2}{3 2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{3}

Rationalisiere

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

Löse

2 u - \frac{2}{3} = 0 : u = \frac{3}{3}

2 u - \frac{2}{3} = 0

Verschiebe

\frac{2}{3}

auf die rechte Seite

2 u - \frac{2}{3} = 0

Füge

\frac{2}{3}

zu beiden Seiten hinzu

2 u - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0 + \frac{2}{3}

Vereinfache

2 u = \frac{2}{3}

2 u = \frac{2}{3}

Teile beide Seiten durch

2

2 u = \frac{2}{3}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{\frac{2}{3}}{2} : \frac{3}{3}

\frac{\frac{2}{3}}{2}

\frac{2}{3} = \frac{2}{3}

\frac{2}{3}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2}{3}

= \frac{\frac{2}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2}{3 2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{3}

Rationalisiere

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

Die Lösungen sind

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = 0, tan (x) = - \frac{3}{3}, tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x) = 0, tan (x) = - \frac{3}{3}, tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 0

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

Löse

x = 0 + πn : x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

tan (x) = - \frac{3}{3} : x = \frac{5 π}{6} + πn

tan (x) = - \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

tan (x) = \frac{3}{3} : x = \frac{π}{6} + πn

tan (x) = \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = πn, x = \frac{5 π}{6} + πn, x = \frac{π}{6} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)=sin(3x)

sin (2 x) = sin (3 x)

8sin(θ)-1=6sin(θ)

8 sin (θ) - 1 = 6 sin (θ)

tan(x)= 50/42

tan (x) = \frac{50}{42}

0.2=cos(2pit)

0.2 = cos (2 π t)

4cos^2(2x)-1=1,0<= x<= 2pi

4 cos^{2} (2 x) - 1 = 1, 0 \leq x \leq 2 π