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Beliebt Trigonometrie >

3tan^2(θ)=7sec(θ)-5

Lösung

3 tan^{2} (θ) = 7 sec (θ) - 5

Lösung

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 tan^{2} (θ) = 7 sec (θ) - 5

Subtrahiere

7 sec (θ) - 5

von beiden Seiten

3 tan^{2} (θ) - 7 sec (θ) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 + 3 tan^{2} (θ) - 7 sec (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= 5 + 3 (sec^{2} (θ) - 1) - 7 sec (θ)

Vereinfache

5 + 3 (sec^{2} (θ) - 1) - 7 sec (θ) : 3 sec^{2} (θ) - 7 sec (θ) + 2

5 + 3 (sec^{2} (θ) - 1) - 7 sec (θ)

Multipliziere aus

3 (sec^{2} (θ) - 1) : 3 sec^{2} (θ) - 3

3 (sec^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = sec^{2} (θ), c = 1

= 3 sec^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 sec^{2} (θ) - 3

= 5 + 3 sec^{2} (θ) - 3 - 7 sec (θ)

Vereinfache

5 + 3 sec^{2} (θ) - 3 - 7 sec (θ) : 3 sec^{2} (θ) - 7 sec (θ) + 2

5 + 3 sec^{2} (θ) - 3 - 7 sec (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 sec^{2} (θ) - 7 sec (θ) + 5 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

5 - 3 = 2

= 3 sec^{2} (θ) - 7 sec (θ) + 2

= 3 sec^{2} (θ) - 7 sec (θ) + 2

= 3 sec^{2} (θ) - 7 sec (θ) + 2

2 + 3 sec^{2} (θ) - 7 sec (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 + 3 sec^{2} (θ) - 7 sec (θ) = 0

Angenommen:

sec (θ) = u

2 + 3 u^{2} - 7 u = 0

2 + 3 u^{2} - 7 u = 0 : u = 2, u = \frac{1}{3}

2 + 3 u^{2} - 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 7 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - 7 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 7, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 3}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 5

(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 7^{2} - 24

7^{2} = 49

= 49 - 24

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 5}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 3} : 2

\frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 + 5}{2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

7 + 5 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{12}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{6} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 3} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 - 5}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = \frac{1}{3}

Setze in

u = sec (θ)

ein

sec (θ) = 2, sec (θ) = \frac{1}{3}

sec (θ) = 2, sec (θ) = \frac{1}{3}

sec (θ) = 2 : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = 2

Allgemeine Lösung für

sec (θ) = 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = \frac{1}{3} :

Keine Lösung

sec (θ) = \frac{1}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x^2+1)-cos(x^2+1)=0

sin (x^{2} + 1) - cos (x^{2} + 1) = 0

sin(8x)=0

sin (8 x) = 0

sin(θ/2)=(sqrt(2))/2

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{2}

9tan(3x)=9

9 tan (3 x) = 9

sin(θ)= 40/41

sin (θ) = \frac{40}{41}